与えられた微分方程式 $y'' - y' - 6y = \delta(t)$ を、初期条件 $y(0) = 1$、$y'(0) = 2$ の下で、ラプラス変換を用いて解きます。ここで $\delta(t)$ はデルタ関数であり、そのラプラス変換は $L[\delta(t)] = 1$ です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y'' - y' - 6y = \delta(t)$ を、初期条件 $y(0) = 1$、$y'(0) = 2$ の下で、ラプラス変換を用いて解きます。ここで $\delta(t)$ はデルタ関数であり、そのラプラス変換は $L[\delta(t)] = 1$ です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた微分方程式の両辺をラプラス変換します。

$L[y'' - y' - 6y] = L[\delta(t)]$

ラプラス変換の線形性より、

$L[y''] - L[y'] - 6L[y] = L[\delta(t)]$

ここで、$Y(s) = L[y(t)]$ とおくと、

$L[y'] = sY(s) - y(0)$

$L[y''] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

初期条件 $y(0) = 1$、$y'(0) = 2$ を代入すると、

$L[y'] = sY(s) - 1$

$L[y''] = s^2Y(s) - s - 2$

したがって、ラプラス変換後の式は次のようになります。

$(s^2Y(s) - s - 2) - (sY(s) - 1) - 6Y(s) = 1$

(2) $Y(s)$ について解きます。

$s^2Y(s) - s - 2 - sY(s) + 1 - 6Y(s) = 1$

$(s^2 - s - 6)Y(s) = s + 2$

$Y(s) = \frac{s+2}{s^2 - s - 6}$

(3) 右辺を部分分数分解します。

$s^2 - s - 6 = (s-3)(s+2)$ であるから、

$\frac{s+2}{(s-3)(s+2)} = \frac{1}{s-3}$

したがって、

$Y(s) = \frac{1}{s-3}$

(4) 逆ラプラス変換を行います。

$y(t) = L^{-1}[Y(s)] = L^{-1}[\frac{1}{s-3}]$

$L^{-1}[\frac{1}{s-a}] = e^{at}$ より、

$y(t) = e^{3t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = e^{3t}$