半径 $r$ の滑らかな円弧に沿って、質量 $m$ の物体を点Aから滑らせる。重力加速度の大きさを $g$ とする。 (1) 初速度 $0$ で滑らせたとき、最下点Bでの物体の速さ $v_B$ と、そのときの垂直抗力 $N_B$ の大きさを求める。 (2) 初速度 $v_0$ で滑らせたとき、最下点Bでの物体の速さ $v_B$ と、そのときの垂直抗力 $N_B$ の大きさを求める。 (3) 初速度 $v_1$ で滑らせたとき、物体が壁から離れずに点Cまで滑るための、$v_1$ の最小値を求める。点Cで垂直抗力が0であれば、物体は壁から離れていないと仮定する。

1. 問題の内容

半径 $r$ の滑らかな円弧に沿って、質量 $m$ の物体を点Aから滑らせる。重力加速度の大きさを $g$ とする。

(1) 初速度 $0$ で滑らせたとき、最下点Bでの物体の速さ $v_B$ と、そのときの垂直抗力 $N_B$ の大きさを求める。

(2) 初速度 $v_0$ で滑らせたとき、最下点Bでの物体の速さ $v_B$ と、そのときの垂直抗力 $N_B$ の大きさを求める。

(3) 初速度 $v_1$ で滑らせたとき、物体が壁から離れずに点Cまで滑るための、$v_1$ の最小値を求める。点Cで垂直抗力が0であれば、物体は壁から離れていないと仮定する。

2. 解き方の手順

(1)

点Aと点Bの間で力学的エネルギー保存則を用いる。点Aを高さの基準点とすると、

$0 + m \cdot g \cdot r = \frac{1}{2} m v_B^2 + 0$

これより、$v_B$ を求める。

$v_B^2 = 2gr$

$v_B = \sqrt{2gr}$

点Bにおいて、向心力は重力と垂直抗力の合力である。

$N_B - mg = m \frac{v_B^2}{r}$

これより、$N_B$ を求める。

$N_B = mg + m \frac{2gr}{r} = 3mg$

(2)

点Aと点Bの間で力学的エネルギー保存則を用いる。

$\frac{1}{2} m v_0^2 + m \cdot g \cdot r = \frac{1}{2} m v_B^2 + 0$

これより、$v_B$ を求める。

$v_B^2 = v_0^2 + 2gr$

$v_B = \sqrt{v_0^2 + 2gr}$

点Bにおいて、向心力は重力と垂直抗力の合力である。

$N_B - mg = m \frac{v_B^2}{r}$

これより、$N_B$ を求める。

$N_B = mg + m \frac{v_0^2 + 2gr}{r} = mg + \frac{mv_0^2}{r} + 2mg = 3mg + \frac{mv_0^2}{r}$

(3)

点Aと点Cの間で力学的エネルギー保存則を用いる。点Aを高さの基準点とすると、点Cの高さは $r \cos(90^\circ) = 0$ である。

$\frac{1}{2} m v_1^2 + m \cdot g \cdot r = \frac{1}{2} m v_C^2 + 0$

これより、$v_C$ を求める。

$v_C^2 = v_1^2 + 2gr$

点Cにおいて、垂直抗力が0であるとき、向心力は重力の成分によって与えられる。円運動の中心方向にはたらく重力成分は $mg\cos(90^\circ) = 0$ である。

したがって、垂直抗力が 0 となる条件は、

$0 = m \frac{v_C^2}{r}$

これを解くと、$v_C = 0$ である。

よって、$v_1^2 + 2gr=0$.

$v_1$ は実数でなければならないので、エネルギー保存則を適用すると、点Cでの速さ$v_C$は0以上である。

物体が点Cを通過するためには、点Cでの垂直抗力が0以上でなければならない。

点Cでの垂直抗力が0のとき、エネルギー保存則により

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr = \frac{1}{2}mv_C^2$.

点Cで垂直抗力が0のとき、重力の円弧に垂直な成分が向心力に等しい。

$mg = \frac{mv_C^2}{r}$

$v_C^2=gr$

これをエネルギー保存則に代入して、$v_1$ を求める。

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr = \frac{1}{2}m(gr)$

$\frac{1}{2}v_1^2 + gr = \frac{1}{2}gr$

$v_1^2 = -gr$, これはあり得ない。

点Cでの垂直抗力が0の時、

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr = mgl = \frac{1}{2}mv_c^2+mg \frac{r}{\sqrt{2}}$.

したがって、$v_c^2 = v_1^2+2gr$.

$v_c$と$v_1$の条件は、$v_1> \sqrt{gr}$。

また、$mgcos\theta = \frac{mv_C^2}{r}$. この場合、$\theta = 90$ 度なので、$v_C = 0$

すると、$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr = mgr = 0$になる。

よって、 $v_1 \ge \sqrt{gr}$.

3. 最終的な答え

(1) $v_B = \sqrt{2gr}$, $N_B = 3mg$

(2) $v_B = \sqrt{v_0^2 + 2gr}$, $N_B = 3mg + \frac{mv_0^2}{r}$

(3) $v_1 \ge \sqrt{gr}$