## 問題1

## 問題1

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

(2) $\int \frac{x}{x^2 - 2x + 2} dx$

(3) $\int \frac{x^3}{x^2 - x - 12} dx$

## 問題2の解き方の手順

(2) $\int \frac{x}{x^2 - 2x + 2} dx$

分母を平方完成させます。

$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$

$x-1 = u$ と置換すると、$x = u+1$、$dx = du$ となります。

$\int \frac{x}{x^2 - 2x + 2} dx = \int \frac{u+1}{u^2+1} du = \int \frac{u}{u^2+1} du + \int \frac{1}{u^2+1} du$

$\int \frac{u}{u^2+1} du$ について、$v = u^2+1$ と置換すると、$dv = 2u du$ となります。

$\int \frac{u}{u^2+1} du = \frac{1}{2} \int \frac{dv}{v} = \frac{1}{2} \ln|v| = \frac{1}{2} \ln(u^2+1)$

$\int \frac{1}{u^2+1} du = \arctan(u)$

したがって、

$\int \frac{x}{x^2 - 2x + 2} dx = \frac{1}{2} \ln(u^2+1) + \arctan(u) + C = \frac{1}{2} \ln((x-1)^2+1) + \arctan(x-1) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 - 2x + 2) + \arctan(x-1) + C$

(3) $\int \frac{x^3}{x^2 - x - 12} dx$

割り算を実行します。

$\frac{x^3}{x^2 - x - 12} = x+1+\frac{13x+12}{x^2 - x - 12} = x+1+\frac{13x+12}{(x-4)(x+3)}$

部分分数分解します。

$\frac{13x+12}{(x-4)(x+3)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+3}$

$13x+12 = A(x+3) + B(x-4)$

$x=4$ のとき、$13(4)+12 = 52+12 = 64 = A(4+3) = 7A$ より、$A = \frac{64}{7}$

$x=-3$ のとき、$13(-3)+12 = -39+12 = -27 = B(-3-4) = -7B$ より、$B = \frac{27}{7}$

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^2 - x - 12} dx = \int (x+1+\frac{64/7}{x-4} + \frac{27/7}{x+3}) dx = \int (x+1) dx + \frac{64}{7} \int \frac{1}{x-4} dx + \frac{27}{7} \int \frac{1}{x+3} dx$

$= \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{64}{7} \ln|x-4| + \frac{27}{7} \ln|x+3| + C$

## 最終的な答え

(2) $\frac{1}{2} \ln(x^2 - 2x + 2) + \arctan(x-1) + C$

(3) $\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{64}{7} \ln|x-4| + \frac{27}{7} \ln|x+3| + C$