$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

この和は等比数列の和の形をしています。まず、定数 $2$ をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k} = 2\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{15^k} = 2\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{15})^k$

次に、等比数列の和の公式を使います。初項 $a = \frac{1}{15}$、公比 $r = \frac{1}{15}$、項数 $n$ なので、

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{15})^k = \frac{\frac{1}{15}(1 - (\frac{1}{15})^n)}{1 - \frac{1}{15}} = \frac{\frac{1}{15}(1 - \frac{1}{15^n})}{\frac{14}{15}} = \frac{1}{14}(1 - \frac{1}{15^n})$

したがって、

$2\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{15})^k = 2 \cdot \frac{1}{14}(1 - \frac{1}{15^n}) = \frac{1}{7}(1 - \frac{1}{15^n})$

しかし、選択肢の中にこの答えはありません。

計算ミスがないか確認します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k} = 2 \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{15})^k = 2 \cdot \frac{\frac{1}{15}(1-(\frac{1}{15})^n)}{1-\frac{1}{15}} = 2 \cdot \frac{\frac{1}{15}(1-\frac{1}{15^n})}{\frac{14}{15}} = 2 \cdot \frac{1}{15} \cdot \frac{15}{14} (1-\frac{1}{15^n}) = \frac{2}{14}(1-\frac{1}{15^n}) = \frac{1}{7}(1-\frac{1}{15^n})$

やはり、選択肢の中に正しいものはありません。

選択肢2は $\frac{1}{14}(1 - \frac{1}{15^n})$ となっていますが、$2$倍する必要があるので間違いです。

3. 最終的な答え

⑤ 上の①~④は全て正しくない