3. 次の不定積分を計算せよ。 (1) $\int \frac{1+x^3}{x} dx$ (2) $\int x\sqrt{1-x} dx$ (3) $\int x^2 \sin x dx$ 4. 次の定積分を計算せよ。 (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx$ (2) $\int_{1}^{e} x^2 \log x dx$ (3) $\int_{0}^{1} x(x^2 - 1)^5 dx$ (4) $\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

はい、承知いたしました。問題の積分を解いていきます。

1. 問題の内容

3. 次の不定積分を計算せよ。

(1) $\int \frac{1+x^3}{x} dx$

(2) $\int x\sqrt{1-x} dx$

(3) $\int x^2 \sin x dx$

4. 次の定積分を計算せよ。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx$

(2) $\int_{1}^{e} x^2 \log x dx$

(3) $\int_{0}^{1} x(x^2 - 1)^5 dx$

(4) $\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

2. 解き方の手順

3. (1) $\int \frac{1+x^3}{x} dx$

$\int \frac{1+x^3}{x} dx = \int (\frac{1}{x} + x^2) dx = \int \frac{1}{x} dx + \int x^2 dx$

$= \log|x| + \frac{x^3}{3} + C$

(2) $\int x\sqrt{1-x} dx$

$t = 1-x$ と置換すると、$x = 1-t$, $dx = -dt$。

$\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-t)\sqrt{t} (-dt) = -\int (t^{1/2} - t^{3/2}) dt$

$= -(\frac{t^{3/2}}{3/2} - \frac{t^{5/2}}{5/2}) + C = -\frac{2}{3}t^{3/2} + \frac{2}{5}t^{5/2} + C$

$= -\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} + \frac{2}{5}(1-x)^{5/2} + C$

(3) $\int x^2 \sin x dx$

部分積分を2回用いる。

$I = \int x^2 \sin x dx$

$u = x^2, dv = \sin x dx$ とすると、$du = 2x dx, v = -\cos x$

$I = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx = -x^2 \cos x + 2\int x \cos x dx$

次に、$\int x \cos x dx$ を部分積分する。

$u = x, dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx, v = \sin x$

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

よって、$I = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$

4. (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx$

部分積分を使う。

$u = x, dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx, v = \sin x$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx = [x \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \frac{\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - 0 - [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{\pi}{2} + [\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0) = \frac{\pi}{2} + 0 - 1 = \frac{\pi}{2} - 1$

(2) $\int_{1}^{e} x^2 \log x dx$

部分積分を使う。

$u = \log x, dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{x^3}{3}$

$\int_{1}^{e} x^2 \log x dx = [\frac{x^3}{3}\log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{e^3}{3} \log e - \frac{1^3}{3} \log 1 - \frac{1}{3}\int_{1}^{e} x^2 dx$

$= \frac{e^3}{3} - 0 - \frac{1}{3}[\frac{x^3}{3}]_{1}^{e} = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{9}(e^3 - 1) = \frac{3e^3 - e^3 + 1}{9} = \frac{2e^3 + 1}{9}$

(3) $\int_{0}^{1} x(x^2 - 1)^5 dx$

$t = x^2 - 1$ と置換すると、$dt = 2x dx$。 $x dx = \frac{1}{2} dt$。

$x=0$ のとき $t = -1$, $x=1$ のとき $t=0$

$\int_{0}^{1} x(x^2 - 1)^5 dx = \int_{-1}^{0} t^5 \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} [\frac{t^6}{6}]_{-1}^{0} = \frac{1}{12} [t^6]_{-1}^{0} = \frac{1}{12} (0^6 - (-1)^6) = \frac{1}{12} (0-1) = -\frac{1}{12}$

(4) $\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

$t = \sqrt{2x+1}$ と置換すると、$t^2 = 2x+1$, $2t dt = 2 dx$, $dx = t dt$. $x = \frac{t^2-1}{2}$.

$x=0$ のとき $t=1$, $x=4$ のとき $t=3$.

$\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \int_{1}^{3} \frac{\frac{t^2-1}{2}}{t} t dt = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (t^2-1) dt = \frac{1}{2} [\frac{t^3}{3} - t]_{1}^{3}$

$= \frac{1}{2} [(\frac{3^3}{3} - 3) - (\frac{1^3}{3} - 1)] = \frac{1}{2} [(9-3) - (\frac{1}{3} - 1)] = \frac{1}{2} [6 + \frac{2}{3}] = \frac{1}{2} [\frac{20}{3}] = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

3. (1) $\log|x| + \frac{x^3}{3} + C$

(2) $-\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} + \frac{2}{5}(1-x)^{5/2} + C$

(3) $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$

4. (1) $\frac{\pi}{2} - 1$

(2) $\frac{2e^3 + 1}{9}$

(3) $-\frac{1}{12}$

(4) $\frac{10}{3}$