関数 $y = x^3 - 3x^2 - 9x$ の区間 $-2 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。

## 問題78 (1)

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 3x^2 - 9x$ の区間 $-2 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$y = x^3 - 3x^2 - 9x$

$y' = 3x^2 - 6x - 9$

$y' = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3(x - 3)(x + 1) = 0$ より $x = 3, -1$

次に、$y$ の増減表を作成します。

| x | -2 | ... | -1 | ... | 3 | ... | 4 |

| ---- | -- | --- | -- | --- | -- | --- | -- |

| y' | | + | 0 | - | 0 | + | |

| y | 2 | / | 5 | / | -27| / | -20|

区間の端点 ($x = -2, 4$) と極値を与える点 ($x = -1, 3$) での $y$ の値を計算します。

$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2$

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

$y(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$

$y(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) = 64 - 48 - 36 = -20$

増減表と計算結果から、最大値と最小値を決定します。

3. 最終的な答え

最大値: $5$ ($x = -1$ のとき)

最小値: $-27$ ($x = 3$ のとき)

## 問題78 (2)

1. 問題の内容

関数 $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3$ の区間 $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$y = x^5 - 5x^4 + 5x^3$

$y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x-1)(x-3)$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$5x^2(x-1)(x-3) = 0$ より $x = 0, 1, 3$

増減表を作成します。

| x | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... | 3 |

| ---- | --- | --- | -- | --- | -- | --- | -- |

| y' | | + | 0 | + | 0 | - | 0 |

| y | -11 | / | 0 | / | 1 | / | 0 |

区間の端点($x=-1,3$)と極値を与える点($x=0, 1$)でのyの値を計算します。

$y(-1) = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 = -1 - 5 - 5 = -11$

$y(0) = (0)^5 - 5(0)^4 + 5(0)^3 = 0$

$y(1) = (1)^5 - 5(1)^4 + 5(1)^3 = 1 - 5 + 5 = 1$

$y(3) = (3)^5 - 5(3)^4 + 5(3)^3 = 243 - 405 + 135 = -27$

増減表と計算結果から、最大値と最小値を決定します。

3. 最終的な答え

最大値: $1$ ($x = 1$ のとき)

最小値: $-11$ ($x = -1$ のとき)

## 問題78 (3)

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x + \cos x$ の区間 $0 \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$y = \sin x + \cos x$

$y' = \cos x - \sin x$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4}$

区間の端点($x=0, \pi$)と極値を与える点($x = \frac{\pi}{4}$)でのyの値を計算します。

$y(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$

$y(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$y(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 + (-1) = -1$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{4}$ のとき)

最小値: $-1$ ($x = \pi$ のとき)

## 問題78 (4)

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4 \log x$ の区間 $1 \le x \le e$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$y = x^2 - 4 \log x$

$y' = 2x - \frac{4}{x} = \frac{2x^2 - 4}{x}$

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$\frac{2x^2 - 4}{x} = 0$

$2x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$1 \le x \le e$ より $x = \sqrt{2}$

区間の端点($x=1, e$)と極値を与える点($x = \sqrt{2}$)でのyの値を計算します。

$y(1) = (1)^2 - 4 \log(1) = 1 - 0 = 1$

$y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - 4 \log(\sqrt{2}) = 2 - 4(\frac{1}{2}\log(2)) = 2 - 2\log 2$

$y(e) = e^2 - 4 \log(e) = e^2 - 4$

$\log 2 \approx 0.693$ であるから $2 - 2\log 2 \approx 2 - 2(0.693) = 2 - 1.386 = 0.614$

$e \approx 2.718$ であるから $e^2 \approx 7.389$ なので $e^2 - 4 \approx 3.389$

3. 最終的な答え

最大値: $e^2 - 4$ ($x = e$ のとき)

最小値: $2 - 2 \log 2$ ($x = \sqrt{2}$ のとき)

## 問題79 (1)

1. 問題の内容

半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形があり、その高さを $x$ とするとき、二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表し、また、$x$ の変域を求めます。

2. 解き方の手順

二等辺三角形の底辺の長さを $b$ とします。円の中心から底辺までの距離を $h$ とすると、$x = a + h$ です。ピタゴラスの定理より、$(\frac{b}{2})^2 + h^2 = a^2$ なので、$\frac{b}{2} = \sqrt{a^2 - h^2}$ となります。したがって、$b = 2\sqrt{a^2 - h^2}$ です。$h = x - a$ を代入すると、$b = 2\sqrt{a^2 - (x-a)^2} = 2\sqrt{a^2 - (x^2 - 2ax + a^2)} = 2\sqrt{2ax - x^2}$ となります。

二等辺三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} \times b \times x = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2ax - x^2} \times x = x\sqrt{2ax - x^2}$ となります。

$x$ の変域は、二等辺三角形が存在するためには $0 < x \le 2a$ である必要があります。また、$x$ が高さであることより、$0 < x$ が必要です。さらに、$2ax - x^2 > 0$ である必要があり、$x(2a-x) > 0$ より $0 < x < 2a$ である必要があります。したがって、$x$ の変域は $0 < x < 2a$ です。

3. 最終的な答え

$S = x\sqrt{2ax - x^2}$

$x$ の変域: $0 < x < 2a$

## 問題79 (2)

1. 問題の内容

問題79 (1) で求めた面積 $S$ が最大になるときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$S = x\sqrt{2ax - x^2}$ を $x$ で微分して、極値を求めます。

$S = \sqrt{2ax^3 - x^4}$ なので、$S^2 = 2ax^3 - x^4$ とすると、$S$ が最大となるとき、$S^2$ も最大となります。そこで、$S^2$ を $x$ で微分します。

$\frac{d(S^2)}{dx} = 6ax^2 - 4x^3 = 2x^2(3a - 2x)$

$\frac{d(S^2)}{dx} = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2x^2(3a - 2x) = 0$ より、$x = 0, \frac{3}{2}a$ となります。$0 < x < 2a$ より、$x = \frac{3}{2}a$ です。

$x < \frac{3}{2}a$ のとき $\frac{d(S^2)}{dx} > 0$ であり、$x > \frac{3}{2}a$ のとき $\frac{d(S^2)}{dx} < 0$ なので、$x = \frac{3}{2}a$ で $S^2$ が最大、つまり $S$ が最大となります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{2}a$