与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}}

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2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y$ とおきます。

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y = (1+e^x)^{\frac{1}{x}}

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次に、両辺の自然対数を取ります。

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\ln y = \ln (1+e^x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln(1+e^x)

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$x \to \infty$ のときの $\ln y$ の極限を計算します。

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\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+e^x)}{x}

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$x \to \infty$ のとき、$\ln(1+e^x) \to \infty$ かつ $x \to \infty$ なので、ロピタルの定理が使えます。

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\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^x}{1+e^x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1+e^x}

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分子分母を $e^x$ で割ります。

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\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1+e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{e^x}+1}

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$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{e^x} \to 0$ なので、

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\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{e^x}+1} = \frac{1}{0+1} = 1

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したがって、

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\lim_{x \to \infty} \ln y = 1

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よって、

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\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e

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3. 最終的な答え

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\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}} = e

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