極限 $\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$ を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式の対数をとります。

$y = (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$ と置くと、

$\ln y = \ln (1+e^x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln(1+e^x)$

次に、$x \to \infty$ のときの $\ln y$ の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+e^x)}{x}$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$e^x$ が非常に大きくなるため、$1+e^x \approx e^x$ と近似できます。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$ より、$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

$e$