以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to -\infty} (1-x)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $y$ とおきます。

$y = (1-x)^{\frac{1}{x}}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \left( (1-x)^{\frac{1}{x}} \right)$

$\ln y = \frac{1}{x} \ln (1-x)$

$\ln y = \frac{\ln (1-x)}{x}$

$x \to -\infty$ のとき、$1-x \to \infty$ であり、$\ln(1-x) \to \infty$ です。

したがって、$\frac{\ln(1-x)}{x}$ は $\frac{\infty}{-\infty}$ の不定形になります。

そこで、ロピタルの定理を用いることができます。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{d}{dx} \ln (1-x)}{\frac{d}{dx} x}$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{-1}{1-x}}{1}$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (1-x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{1-x}$

$x \to -\infty$ のとき、$1-x \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{1-x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to -\infty} \ln y = 0$

指数関数をとると、

$\lim_{x \to -\infty} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

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