問題1は関数 $f(x) = (x^2+1)(2x-3)^2$ について、曲線 $y=f(x)$ の $x=1$ における微分係数を求める問題です。 問題2は、(1) $y = x^5 - 4x^2 - 3$ と (2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ の3次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は関数 $f(x) = (x^2+1)(2x-3)^2$ について、曲線 $y=f(x)$ の $x=1$ における微分係数を求める問題です。

問題2は、(1) $y = x^5 - 4x^2 - 3$ と (2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ の3次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、$f(x)$ を展開します。

$f(x) = (x^2+1)(4x^2-12x+9) = 4x^4 - 12x^3 + 9x^2 + 4x^2 - 12x + 9 = 4x^4 - 12x^3 + 13x^2 - 12x + 9$

次に、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 16x^3 - 36x^2 + 26x - 12$

$f'(1)$ を求めます。

$f'(1) = 16(1)^3 - 36(1)^2 + 26(1) - 12 = 16 - 36 + 26 - 12 = -6$

問題2(1):

$y = x^5 - 4x^2 - 3$

$y' = 5x^4 - 8x$

$y'' = 20x^3 - 8$

$y''' = 60x^2$

問題2(2):

$y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$

$y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

$y'' = \frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}$

$y''' = -\frac{15}{8}x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{8\sqrt{x^7}}$

3. 最終的な答え

問題1：

$f'(1) = -6$

問題2(1)：

$y''' = 60x^2$

問題2(2)：

$y''' = -\frac{15}{8\sqrt{x^7}}$