長方形と半円を組み合わせた花壇の面積を考えます。花壇の囲いを作る材料が合計で12mあります。長方形の縦の長さを $x$ m とするとき、花壇の面積 $y$ が最大となるような $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

長方形と半円を組み合わせた花壇の面積を考えます。花壇の囲いを作る材料が合計で12mあります。長方形の縦の長さを $x$ m とするとき、花壇の面積 $y$ が最大となるような $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 長方形の縦の長さ $x$ と、半円の半径 $r$ の関係を求めます。囲いの長さは $2x + 2r + \pi r = 12$ となります。

$2x + (2 + \pi)r = 12$

$(2 + \pi)r = 12 - 2x$

$r = \frac{12 - 2x}{2 + \pi}$

(2) 花壇の面積 $y$ を $x$ の式で表します。長方形の面積は $2xr$ 、半円の面積は $\frac{1}{2}\pi r^2$ です。したがって、

$y = 2xr + \frac{1}{2}\pi r^2$

$y = 2x \cdot \frac{12 - 2x}{2 + \pi} + \frac{1}{2}\pi \left(\frac{12 - 2x}{2 + \pi}\right)^2$

$y = \frac{2x(12 - 2x)}{2 + \pi} + \frac{\pi (12 - 2x)^2}{2(2 + \pi)^2}$

$y = \frac{2x(12 - 2x)}{2 + \pi} + \frac{\pi(144 - 48x + 4x^2)}{2(2 + \pi)^2}$

$y = \frac{4x(12 - 2x)(2+\pi) + \pi(144 - 48x + 4x^2)}{2(2+\pi)^2}$

$y = \frac{(48x - 8x^2)(2+\pi) + 144\pi - 48\pi x + 4\pi x^2}{2(2+\pi)^2}$

$y = \frac{96x + 48\pi x - 16x^2 - 8\pi x^2 + 144\pi - 48\pi x + 4\pi x^2}{2(2+\pi)^2}$

$y = \frac{96x - 16x^2 + 144\pi - 4\pi x^2}{2(2+\pi)^2}$

$y = \frac{-4(\pi + 4)x^2 + 96x + 144\pi}{2(2+\pi)^2}$

$y = \frac{-2(\pi + 4)x^2 + 48x + 72\pi}{(2+\pi)^2}$

(3) $y$ を最大にする $x$ の値を求めます。 $y$ を $x$ の二次関数と見て、平方完成を行うか、微分して極値を求める方法があります。ここでは平方完成を行います。

$y = \frac{-2(\pi + 4)}{(2+\pi)^2} \left(x^2 - \frac{24}{\pi+4}x \right) + \frac{72\pi}{(2+\pi)^2}$

$y = \frac{-2(\pi + 4)}{(2+\pi)^2} \left(x - \frac{12}{\pi+4}\right)^2 + \frac{2(\pi+4)}{(2+\pi)^2} \left(\frac{12}{\pi+4}\right)^2 + \frac{72\pi}{(2+\pi)^2}$

$y = \frac{-2(\pi + 4)}{(2+\pi)^2} \left(x - \frac{12}{\pi+4}\right)^2 + \frac{288}{(2+\pi)^2(\pi+4)} + \frac{72\pi}{(2+\pi)^2}$

$y$ が最大となるのは $x = \frac{12}{\pi + 4}$ のときです。

3. 最終的な答え

$x = \frac{12}{\pi + 4}$