長方形と半円で囲まれた花壇の面積を求めます。花壇の囲いの材料の長さが合計12mであり、長方形の短い辺（ア、ウ）の長さがそれぞれ1m、2m、3m、4mの場合について、囲まれた花壇の面積を計算します。

1. 問題の内容

長方形と半円で囲まれた花壇の面積を求めます。花壇の囲いの材料の長さが合計12mであり、長方形の短い辺（ア、ウ）の長さがそれぞれ1m、2m、3m、4mの場合について、囲まれた花壇の面積を計算します。

2. 解き方の手順

まず、長方形の短い辺の長さを$x$ (m)とします。長方形の長い辺の長さを$y$ (m)とします。

囲いの材料の合計は、長方形の短い辺2つ分、長い辺1つ分、そして半円の弧の長さです。半円の半径は$x$なので、半円の弧の長さは$\pi x$ (m)となります。したがって、

$2x + y + \pi x = 12$

これより、$y$は以下のように表せます。

$y = 12 - (2 + \pi)x$

囲まれた面積は、長方形の面積と半円の面積の合計です。長方形の面積は$xy$であり、半円の面積は$\frac{1}{2} \pi x^2$です。したがって、合計の面積$S$は、

$S = xy + \frac{1}{2} \pi x^2$

上記の$y$を代入すると、

$S = x(12 - (2 + \pi)x) + \frac{1}{2} \pi x^2$

$S = 12x - 2x^2 - \pi x^2 + \frac{1}{2} \pi x^2$

$S = 12x - 2x^2 - \frac{1}{2} \pi x^2$

$\pi \approx 3.14$と近似して計算します。

(i) $x = 1$のとき

$S = 12(1) - 2(1)^2 - \frac{1}{2} (3.14) (1)^2 = 12 - 2 - 1.57 = 8.43 \approx 8.4$

(ii) $x = 2$のとき

$S = 12(2) - 2(2)^2 - \frac{1}{2} (3.14) (2)^2 = 24 - 8 - 6.28 = 9.72 \approx 9.7$

(iii) $x = 3$のとき

$S = 12(3) - 2(3)^2 - \frac{1}{2} (3.14) (3)^2 = 36 - 18 - 14.13 = 3.87 \approx 3.9$

(iv) $x = 4$のとき

$S = 12(4) - 2(4)^2 - \frac{1}{2} (3.14) (4)^2 = 48 - 32 - 25.12 = -9.12$

ただし、$S$が負の値となるのは、現実的ではありません。$y = 12-(2+\pi)x$ が負になるため、長方形が成立しないからです。

与えられた図から面積は以下のようになります。

x=1のとき、10

x=2のとき、16

x=3のとき、18

x=4のとき、16

3. 最終的な答え

アの長さが1mのとき、面積は 8.4 m²

アの長さが2mのとき、面積は 9.7 m²

アの長さが3mのとき、面積は 3.9 m²

アの長さが4mのとき、面積は -9.12 m²

(ただし、x=4のときは面積が負になるため現実的ではありません)

解答欄に書かれた数値は、

アの長さが1mのとき、面積は 10 m²

アの長さが2mのとき、面積は 16 m²

アの長さが3mのとき、面積は 18 m²

アの長さが4mのとき、面積は 16 m²