長方形の花壇を囲う材料が12m分あり、そのうちの2辺と半円の部分に使われています。長方形の1辺（図の⑦）の長さを $x$ としたとき、花壇の面積 $y$ が最大になるような $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

長方形の花壇を囲う材料が12m分あり、そのうちの2辺と半円の部分に使われています。長方形の1辺（図の⑦）の長さを $x$ としたとき、花壇の面積 $y$ が最大になるような $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

長方形のもう1辺の長さを $a$ とします。半円の半径は $x/2$ です。

囲いの材料の合計は、長方形の2辺の長さの和と半円の円周の和なので、以下の式が成り立ちます。

$2a + \pi (x/2) = 12$

この式から $a$ を $x$ で表します。

$2a = 12 - \frac{\pi}{2}x$

$a = 6 - \frac{\pi}{4}x$

長方形の面積は $ax$ で、半円の面積は $(\pi (x/2)^2)/2 = \frac{\pi x^2}{8}$ です。

花壇の面積 $y$ は、長方形の面積から半円の面積を引いたものなので、以下のようになります。

$y = ax = (6 - \frac{\pi}{4}x)x = 6x - \frac{\pi}{4}x^2$

面積 $y$ が最大になるような $x$ の値を求めるために、 $y$ を $x$ で微分して、それが0になる $x$ を探します。

$\frac{dy}{dx} = 6 - \frac{\pi}{2}x$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$6 - \frac{\pi}{2}x = 0$

$\frac{\pi}{2}x = 6$

$x = \frac{12}{\pi}$

これは二次関数の頂点の $x$ 座標に対応するので、面積が最大となる $x$ の値です。

3. 最終的な答え

$\frac{12}{\pi}$