半径 $R$、質量 $M$ の一様な円柱が、粗い水平な床を速度 $v$ で転がっている。高さ $h$ の段差がある場合、円柱が段差を上りきるために必要な $v$ を求める。ただし、円柱と段差の角 (点 C) との衝突は完全に非弾性的であり、上りきるまで円柱は C から離れないものとする。

## 解答

1. 問題の内容

半径 $R$、質量 $M$ の一様な円柱が、粗い水平な床を速度 $v$ で転がっている。高さ $h$ の段差がある場合、円柱が段差を上りきるために必要な $v$ を求める。ただし、円柱と段差の角 (点 C) との衝突は完全に非弾性的であり、上りきるまで円柱は C から離れないものとする。

2. 解き方の手順

(1) **衝突直後の角運動量保存**

円柱が段差に衝突する直前と直後で、段差の角 (点 C) まわりの角運動量が保存すると考える。衝突は非弾性的なので、力学的エネルギーは保存されない。衝突直前の角運動量 $L_1$ は、

$L_1 = I \omega + M v R$

ここで、$I$ は円柱の慣性モーメントで $I = \frac{1}{2}MR^2$、$\omega$ は角速度で $\omega = v/R$ である。したがって、

$L_1 = \frac{1}{2}MR^2 \frac{v}{R} + MvR = \frac{3}{2}MvR$

衝突直後の角速度を $\omega'$ とすると、衝突直後の角運動量 $L_2$ は、

$L_2 = I \omega' R= \frac{1}{2}MR^2 \omega' + M \omega' R^2 = \frac{3}{2} M R^2 \omega'$

重心の速度は $v'=\omega' R$ となるので

$L_2 = \frac{3}{2} M v'R$.

したがって、角運動量保存則より、

$\frac{3}{2}Mv'R = \frac{3}{2}MvR$

しかし、今回は衝突が非弾性的であるから、$v' \neq v$ となる。重心の速さ $v'$ に関しては、重心が点Cの周りを回転するように運動すると考えれば、$L_1=L_2$より、

$\frac{3}{2} M R^2 \omega' = M v_0 R$

よって、$\omega' = \frac{v_0}{R}$

(2) **力学的エネルギー保存**

円柱が段差を上りきるためには、衝突直後の運動エネルギーが、位置エネルギーの増加分以上である必要がある。円柱の重心が C の周りを回転し、重心が最も高い位置に来たとき、回転が止まると考える。

衝突直後の運動エネルギー $K_2$ は、

$K_2 = \frac{1}{2} I \omega'^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}MR^2 \right) \omega'^2$

段差を上りきるために必要な位置エネルギーの増加 $\Delta U$ は、

$\Delta U = Mg(R-h)$

エネルギー保存則より、$K_2 \ge \Delta U$ である必要がある。

$\frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}MR^2 \right) \omega'^2 \ge Mg(R-h)$

$\frac{3}{4}MR^2 \left(\frac{v'}{R}\right)^2 \geq Mg(R-h)$

$\frac{3}{4} M v'^2 \geq M g (R-h)$

$v'^2 \geq \frac{4}{3} g(R-h)$

(3) **衝突前後の関係**

円柱とCとの衝突前後での力積を考える。衝突時、Cの周りに回転するようになるため、C周りの角運動量を考えると、衝突直前では重心は速度$v$で運動しており、衝突直後ではC周りを$v'$で回転している。

この時、角運動量保存則より、

$MvR = \frac{3}{2}MR^2 \omega'$

$\omega' = \frac{2v}{3R}$

$v' = R\omega' = \frac{2}{3}v$

(4) **必要条件の導出**

$v'^2 \ge \frac{4}{3}g(R-h)$

$\left(\frac{2}{3}v\right)^2 \ge \frac{4}{3}g(R-h)$

$\frac{4}{9}v^2 \ge \frac{4}{3}g(R-h)$

$v^2 \ge 3g(R-h)$

$v \ge \sqrt{3g(R-h)}$

3. 最終的な答え

$v \ge \sqrt{3g(R-h)}$