曲線 $y=x^3-3x^2+6$ に点 $(0, 7)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。接点を $(t, t^3 - 3t^2 + 6)$ とおくと、接線の方程式は $y - (t^3 - 3t^2 + 6) = (3t^2 - 6t)(x - t)$ で表されます。この接線が $(0, 7)$ を通ることから $2t^3 - 6t^2 + 6 = 0$ を得ます。 この式を整理して得られる $2t^3 - 6t^2 + 7 = 0$を用いて接線の方程式を決定します。

1. 問題の内容

曲線 $y=x^3-3x^2+6$ に点 $(0, 7)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。接点を $(t, t^3 - 3t^2 + 6)$ とおくと、接線の方程式は $y - (t^3 - 3t^2 + 6) = (3t^2 - 6t)(x - t)$ で表されます。この接線が $(0, 7)$ を通ることから $2t^3 - 6t^2 + 6 = 0$ を得ます。

この式を整理して得られる $2t^3 - 6t^2 + 7 = 0$を用いて接線の方程式を決定します。

2. 解き方の手順

まず、接線の方程式を求めます。

$y = x^3 - 3x^2 + 6$を微分すると、

$y' = 3x^2 - 6x$

接点 $(t, t^3 - 3t^2 + 6)$ における接線の傾きは $3t^2 - 6t$ となります。

よって、接線の方程式は

$y - (t^3 - 3t^2 + 6) = (3t^2 - 6t)(x - t)$

$y = (3t^2 - 6t)x - 3t^3 + 6t^2 + t^3 - 3t^2 + 6$

$y = (3t^2 - 6t)x - 2t^3 + 3t^2 + 6$

この接線が $(0, 7)$ を通るので、 $x = 0, y = 7$ を代入すると、

$7 = (3t^2 - 6t)(0) - 2t^3 + 3t^2 + 6$

$7 = -2t^3 + 3t^2 + 6$

$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0$

$(t-1)^2(2t+1) = 0$

したがって，$t=1$または$t=-\frac{1}{2}$

$t=1$の場合、$y'=3(1)^2-6(1) = -3$. 接点の座標は $(1, 4)$.

$y-4 = -3(x-1)$

$y = -3x + 3 + 4 = -3x + 7$.

$t = -\frac{1}{2}$ の場合、$y' = 3(-\frac{1}{2})^2 - 6(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$. 接点の座標は $(-\frac{1}{2}, (-\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{1}{2})^2 + 6) = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 6) = (-\frac{1}{2}, \frac{-1 - 6 + 48}{8}) = (-\frac{1}{2}, \frac{41}{8})$.

$y - \frac{41}{8} = \frac{15}{4}(x + \frac{1}{2})$

$y = \frac{15}{4}x + \frac{15}{8} + \frac{41}{8} = \frac{15}{4}x + \frac{56}{8} = \frac{15}{4}x + 7$.

与えられた画像の方程式は

$2t^3-6t^2+7=0$ではなく$2t^3-3t^2+1=0$である.

この接線が (0, 7) を通るから

$7 = (3t^2 - 6t) \times 0 - 2t^3 + 3t^2 + 6$

$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0$

$(t - 1)^2 (2t + 1) = 0$

よって、$t = 1$ または $t = -\frac{1}{2}$。

$t = 1$ のとき、接線は $y = (3 - 6)x - 2 + 3 + 6 = -3x + 7$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、接線は $y = (3(\frac{1}{4}) - 6(-\frac{1}{2})) x - 2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) + 6 = (\frac{3}{4} + 3) x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6 = \frac{15}{4} x + 7$

3. 最終的な答え

$y = -3x+7$

$y = \frac{15}{4}x+7$

より、

$y = -3x+7$

$y = \frac{15}{4}x+7$

よって、最初の接線の方程式は、$y = -3x + 7$。

次の接線の方程式は、$y = \frac{15}{4}x + 7$。

求めるべき値は、10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

$y = -3x+7$の場合、

10 = -3

11 = -

12 = 7

$y = \frac{15}{4}x+7$の場合、

13 = 15

14 = /

15 = 4

16 = 7

最終的な答えは、

10: -3, 11: , 12: 7, 13: 15, 14: /, 15: 4, 16: 7

回答形式に合わせて埋めます。

$y = -3x + 7$

$y = \frac{15}{4}x + 7$

10: -3, 11: 空欄, 12: 7, 13: 15, 14: 空欄, 15: 4, 16: 7

最終的な回答は次の通りです。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 6$ に点 $(0, 7)$ から引いた接線の方程式を求める。接線の方程式の空欄を埋める。

2. 解き方の手順

接点を $(t, t^3 - 3t^2 + 6)$ とおく。接線の方程式は $y - (t^3 - 3t^2 + 6) = (3t^2 - 6t)(x - t)$ で表される。

この接線が $(0, 7)$ を通ることから $7 - (t^3 - 3t^2 + 6) = (3t^2 - 6t)(0 - t)$

$1 = -3t^3 + 6t^2 + t^3 - 3t^2$

$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0$

$(t - 1)^2 (2t + 1) = 0$

$t = 1$ または $t = -\frac{1}{2}$

$t = 1$ のとき、$y' = 3(1)^2 - 6(1) = -3$。接線は $y = -3x + 7$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$y' = 3(-\frac{1}{2})^2 - 6(-\frac{1}{2}) = \frac{15}{4}$。接線は $y = \frac{15}{4}x + 7$

3. 最終的な答え

$y = -3x + 7$

$y = \frac{15}{4}x + 7$

10: -3

11: (空欄)

12: 7

13: 15

14: (空欄)

15: 4

16: 7

```

y=-3x+7と

y=15/4x+7

```