与えられたベルヌーイ型微分方程式 $\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n$ において、$p(x) = -1$, $q(x) = -2$, $n = 2$ のときの一般解を求めます。

解析学微分方程式ベルヌーイ型微分方程式一般解線形微分方程式
2025/7/17

1. 問題の内容

与えられたベルヌーイ型微分方程式
dydx+p(x)y=q(x)yn\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n
において、p(x)=1p(x) = -1, q(x)=2q(x) = -2, n=2n = 2 のときの一般解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式に p(x)p(x), q(x)q(x), nn の値を代入します。
dydxy=2y2\frac{dy}{dx} - y = -2y^2
次に、u=y1n=y12=y1u = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1} とおきます。すると、dudx=y2dydx\frac{du}{dx} = -y^{-2}\frac{dy}{dx} となります。つまり、dydx=y2dudx\frac{dy}{dx} = -y^2\frac{du}{dx} です。
これを与えられた微分方程式に代入します。
y2dudxy=2y2-y^2\frac{du}{dx} - y = -2y^2
両辺を y2-y^2 で割ると
dudx+y1=2\frac{du}{dx} + y^{-1} = 2
u=y1u = y^{-1} より
dudx+u=2\frac{du}{dx} + u = 2
これは線形微分方程式なので、積分因子 e1dx=exe^{\int 1 dx} = e^x を両辺にかけます。
exdudx+exu=2exe^x \frac{du}{dx} + e^x u = 2e^x
ddx(exu)=2ex\frac{d}{dx}(e^x u) = 2e^x
両辺を積分すると
exu=2exdx=2ex+Ce^x u = \int 2e^x dx = 2e^x + C
u=2+Cexu = 2 + Ce^{-x}
u=y1u = y^{-1} より
y1=2+Cexy^{-1} = 2 + Ce^{-x}
したがって
y=12+Cexy = \frac{1}{2 + Ce^{-x}}

3. 最終的な答え

y=12+Cexy = \frac{1}{2 + Ce^{-x}}

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