与えられた関数を積分する問題です。具体的には以下の関数について不定積分を求めます。 (1) $x^2 e^x$ (2) $(x-2)\cos 3x$ (3) $e^x \cos x$ (4) $\frac{\log x}{x^2}$ (5) $\log(x^2 + 1)$ (6) $(\log x)^2$ (7) $x \tan^{-1}x$ (8) $\sin^{-1}x$ (9) $\tan^{-1}x$ (10) $\sqrt{x^2 + 2x + 2}$ (11) $\sqrt{1 - 4x - x^2}$ (12) $\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}}$ 以下、それぞれの解き方と答えを示します。積分定数は省略します。
2025/7/17
## 問題4の積分問題
1. 問題の内容
与えられた関数を積分する問題です。具体的には以下の関数について不定積分を求めます。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
以下、それぞれの解き方と答えを示します。積分定数は省略します。
2. 解き方の手順と最終的な答え
(1)
部分積分を2回行います。
とおくと、
を部分積分で計算します。
とおくと、
よって、
最終的な答え:
(2)
部分積分を行います。
とおくと、
最終的な答え:
(3)
部分積分を2回行います。
とおくと、
を部分積分で計算します。
とおくと、
よって、
最終的な答え:
(4)
部分積分を行います。
とおくと、
最終的な答え:
(5)
部分積分を行います。
とおくと、
最終的な答え:
(6)
部分積分を行います。
とおくと、
とおくと、
最終的な答え:
(7)
部分積分を行います。
とおくと、
最終的な答え:
(8)
部分積分を行います。
とおくと、
とおくと、,
最終的な答え:
(9)
部分積分を行います。
とおくと、
とおくと、,
最終的な答え:
(10)
平方完成すると となるので、 と置換します. ただし、
より
より、
より
最終的な答え:
(11)
平方完成すると となるので、 と置換します。
より
より、
より
最終的な答え:
(12)
と置換します。
より
より
最終的な答え: