与えられた関数を積分する問題です。具体的には以下の関数について不定積分を求めます。 (1) $x^2 e^x$ (2) $(x-2)\cos 3x$ (3) $e^x \cos x$ (4) $\frac{\log x}{x^2}$ (5) $\log(x^2 + 1)$ (6) $(\log x)^2$ (7) $x \tan^{-1}x$ (8) $\sin^{-1}x$ (9) $\tan^{-1}x$ (10) $\sqrt{x^2 + 2x + 2}$ (11) $\sqrt{1 - 4x - x^2}$ (12) $\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}}$ 以下、それぞれの解き方と答えを示します。積分定数は省略します。

解析学積分不定積分部分積分置換積分
2025/7/17
## 問題4の積分問題

1. 問題の内容

与えられた関数を積分する問題です。具体的には以下の関数について不定積分を求めます。
(1) x2exx^2 e^x
(2) (x2)cos3x(x-2)\cos 3x
(3) excosxe^x \cos x
(4) logxx2\frac{\log x}{x^2}
(5) log(x2+1)\log(x^2 + 1)
(6) (logx)2(\log x)^2
(7) xtan1xx \tan^{-1}x
(8) sin1x\sin^{-1}x
(9) tan1x\tan^{-1}x
(10) x2+2x+2\sqrt{x^2 + 2x + 2}
(11) 14xx2\sqrt{1 - 4x - x^2}
(12) x2x2+2\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}}
以下、それぞれの解き方と答えを示します。積分定数は省略します。

2. 解き方の手順と最終的な答え

(1) x2exx^2 e^x
部分積分を2回行います。
I=x2exdxI = \int x^2 e^x dx
u=x2,dv=exdxu = x^2, dv = e^x dx とおくと、du=2xdx,v=exdu = 2x dx, v = e^x
I=x2ex2xexdx=x2ex2xexdxI = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx
J=xexdxJ = \int x e^x dx を部分積分で計算します。
u=x,dv=exdxu = x, dv = e^x dx とおくと、du=dx,v=exdu = dx, v = e^x
J=xexexdx=xexexJ = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x
よって、
I=x2ex2(xexex)=x2ex2xex+2ex=ex(x22x+2)I = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x = e^x(x^2 - 2x + 2)
最終的な答え: ex(x22x+2)e^x(x^2 - 2x + 2)
(2) (x2)cos3x(x-2)\cos 3x
部分積分を行います。
I=(x2)cos3xdxI = \int (x-2) \cos 3x dx
u=x2,dv=cos3xdxu = x-2, dv = \cos 3x dx とおくと、du=dx,v=13sin3xdu = dx, v = \frac{1}{3}\sin 3x
I=(x2)13sin3x13sin3xdx=13(x2)sin3x+19cos3xI = (x-2) \cdot \frac{1}{3} \sin 3x - \int \frac{1}{3} \sin 3x dx = \frac{1}{3}(x-2)\sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x
最終的な答え: 13(x2)sin3x+19cos3x\frac{1}{3}(x-2)\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x
(3) excosxe^x \cos x
部分積分を2回行います。
I=excosxdxI = \int e^x \cos x dx
u=cosx,dv=exdxu = \cos x, dv = e^x dx とおくと、du=sinxdx,v=exdu = -\sin x dx, v = e^x
I=excosxex(sinx)dx=excosx+exsinxdxI = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx
J=exsinxdxJ = \int e^x \sin x dx を部分積分で計算します。
u=sinx,dv=exdxu = \sin x, dv = e^x dx とおくと、du=cosxdx,v=exdu = \cos x dx, v = e^x
J=exsinxexcosxdx=exsinxIJ = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx = e^x \sin x - I
よって、
I=excosx+exsinxII = e^x \cos x + e^x \sin x - I
2I=ex(cosx+sinx)2I = e^x(\cos x + \sin x)
I=12ex(cosx+sinx)I = \frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x)
最終的な答え: 12ex(cosx+sinx)\frac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x)
(4) logxx2\frac{\log x}{x^2}
部分積分を行います。
I=logxx2dxI = \int \frac{\log x}{x^2} dx
u=logx,dv=1x2dxu = \log x, dv = \frac{1}{x^2} dx とおくと、du=1xdx,v=1xdu = \frac{1}{x} dx, v = -\frac{1}{x}
I=(logx)(1x)(1x)1xdx=logxx+1x2dx=logxx1xI = (\log x) \cdot (-\frac{1}{x}) - \int (-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\log x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x}
最終的な答え: logxx1x=logx+1x-\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} = -\frac{\log x + 1}{x}
(5) log(x2+1)\log(x^2 + 1)
部分積分を行います。
I=log(x2+1)dx=1log(x2+1)dxI = \int \log(x^2 + 1) dx = \int 1 \cdot \log(x^2 + 1) dx
u=log(x2+1),dv=dxu = \log(x^2 + 1), dv = dx とおくと、du=2xx2+1dx,v=xdu = \frac{2x}{x^2 + 1} dx, v = x
I=xlog(x2+1)x2xx2+1dx=xlog(x2+1)2x2x2+1dxI = x \log(x^2 + 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} dx = x \log(x^2 + 1) - 2\int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx
x2x2+1dx=x2+11x2+1dx=(11x2+1)dx=xtan1x\int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx = \int \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} dx = \int (1 - \frac{1}{x^2 + 1}) dx = x - \tan^{-1}x
I=xlog(x2+1)2(xtan1x)=xlog(x2+1)2x+2tan1xI = x \log(x^2 + 1) - 2(x - \tan^{-1}x) = x \log(x^2 + 1) - 2x + 2\tan^{-1}x
最終的な答え: xlog(x2+1)2x+2tan1xx \log(x^2 + 1) - 2x + 2\tan^{-1}x
(6) (logx)2(\log x)^2
部分積分を行います。
I=(logx)2dx=1(logx)2dxI = \int (\log x)^2 dx = \int 1 \cdot (\log x)^2 dx
u=(logx)2,dv=dxu = (\log x)^2, dv = dx とおくと、du=2(logx)1xdx,v=xdu = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx, v = x
I=x(logx)2x2(logx)1xdx=x(logx)22logxdxI = x (\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = x (\log x)^2 - 2\int \log x dx
J=logxdx=1logxdxJ = \int \log x dx = \int 1 \cdot \log x dx
u=logx,dv=dxu = \log x, dv = dx とおくと、du=1xdx,v=xdu = \frac{1}{x} dx, v = x
J=xlogxx1xdx=xlogx1dx=xlogxxJ = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x
I=x(logx)22(xlogxx)=x(logx)22xlogx+2xI = x (\log x)^2 - 2(x \log x - x) = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x
最終的な答え: x(logx)22xlogx+2xx (\log x)^2 - 2x \log x + 2x
(7) xtan1xx \tan^{-1}x
部分積分を行います。
I=xtan1xdxI = \int x \tan^{-1}x dx
u=tan1x,dv=xdxu = \tan^{-1}x, dv = x dx とおくと、du=11+x2dx,v=12x2du = \frac{1}{1 + x^2} dx, v = \frac{1}{2}x^2
I=12x2tan1x12x211+x2dx=12x2tan1x12x21+x2dxI = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1 + x^2} dx
x21+x2dx=1+x211+x2dx=(111+x2)dx=xtan1x\int \frac{x^2}{1 + x^2} dx = \int \frac{1 + x^2 - 1}{1 + x^2} dx = \int (1 - \frac{1}{1 + x^2}) dx = x - \tan^{-1}x
I=12x2tan1x12(xtan1x)=12x2tan1x12x+12tan1xI = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2}(x - \tan^{-1}x) = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1}x
I=12(x2+1)tan1x12xI = \frac{1}{2}(x^2 + 1)\tan^{-1}x - \frac{1}{2}x
最終的な答え: 12(x2+1)tan1x12x\frac{1}{2}(x^2 + 1)\tan^{-1}x - \frac{1}{2}x
(8) sin1x\sin^{-1}x
部分積分を行います。
I=sin1xdx=1sin1xdxI = \int \sin^{-1}x dx = \int 1 \cdot \sin^{-1}x dx
u=sin1x,dv=dxu = \sin^{-1}x, dv = dx とおくと、du=11x2dx,v=xdu = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx, v = x
I=xsin1xx11x2dxI = x \sin^{-1}x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx
J=x1x2dxJ = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
t=1x2t = 1 - x^2 とおくと、dt=2xdxdt = -2x dx, xdx=12dtx dx = -\frac{1}{2} dt
J=12dtt=12t1/2dt=122t1/2=t=1x2J = \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} = -\sqrt{t} = -\sqrt{1 - x^2}
I=xsin1x(1x2)=xsin1x+1x2I = x \sin^{-1}x - (-\sqrt{1 - x^2}) = x \sin^{-1}x + \sqrt{1 - x^2}
最終的な答え: xsin1x+1x2x \sin^{-1}x + \sqrt{1 - x^2}
(9) tan1x\tan^{-1}x
部分積分を行います。
I=tan1xdx=1tan1xdxI = \int \tan^{-1}x dx = \int 1 \cdot \tan^{-1}x dx
u=tan1x,dv=dxu = \tan^{-1}x, dv = dx とおくと、du=11+x2dx,v=xdu = \frac{1}{1 + x^2} dx, v = x
I=xtan1xx11+x2dxI = x \tan^{-1}x - \int x \cdot \frac{1}{1 + x^2} dx
J=x1+x2dxJ = \int \frac{x}{1 + x^2} dx
t=1+x2t = 1 + x^2 とおくと、dt=2xdxdt = 2x dx, xdx=12dtx dx = \frac{1}{2} dt
J=12dtt=121tdt=12logt=12log(1+x2)J = \int \frac{\frac{1}{2} dt}{t} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log |t| = \frac{1}{2} \log(1 + x^2)
I=xtan1x12log(1+x2)I = x \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2)
最終的な答え: xtan1x12log(1+x2)x \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2)
(10) x2+2x+2\sqrt{x^2 + 2x + 2}
平方完成すると (x+1)2+1\sqrt{(x+1)^2 + 1} となるので、x+1=sinhtx+1 = \sinh t と置換します.  ただし、sinht=etet2 \sinh t= \frac{e^{t}-e^{-t}}{2}
x+1=sinhtx + 1 = \sinh t より dx=coshtdtdx = \cosh t dt
I=sinh2t+1coshtdt=cosh2tcoshtdt=cosh2tdtI = \int \sqrt{\sinh^2 t + 1} \cosh t dt = \int \sqrt{\cosh^2 t} \cosh t dt = \int \cosh^2 t dt
cosht=et+et2\cosh t= \frac{e^{t}+e^{-t}}{2} より、
cosh2t=14(e2t+2+e2t)=12+12cosh2t\cosh^2 t = \frac{1}{4}(e^{2t} + 2 + e^{-2t}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cosh 2t
I=(12+12cosh2t)dt=12t+14sinh2t=12t+12sinhtcoshtI = \int (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cosh 2t) dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4} \sinh 2t = \frac{1}{2}t + \frac{1}{2} \sinh t \cosh t
sinht=x+1\sinh t = x + 1 より t=sinh1(x+1)t = \sinh^{-1}(x+1)
cosht=1+sinh2t=1+(x+1)2=x2+2x+2\cosh t = \sqrt{1 + \sinh^2 t} = \sqrt{1 + (x+1)^2} = \sqrt{x^2 + 2x + 2}
I=12sinh1(x+1)+12(x+1)x2+2x+2I = \frac{1}{2}\sinh^{-1}(x+1) + \frac{1}{2}(x+1)\sqrt{x^2 + 2x + 2}
最終的な答え: 12(x+1)x2+2x+2+12sinh1(x+1)\frac{1}{2}(x+1)\sqrt{x^2+2x+2} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(x+1)
(11) 14xx2\sqrt{1 - 4x - x^2}
平方完成すると 5(x+2)2\sqrt{5 - (x+2)^2} となるので、x+2=5sintx+2 = \sqrt{5}\sin t と置換します。
x+2=5sintx + 2 = \sqrt{5}\sin t より dx=5costdtdx = \sqrt{5}\cos t dt
I=55sin2t5costdt=5cost5costdt=5cos2tdtI = \int \sqrt{5 - 5\sin^2 t} \sqrt{5}\cos t dt = \int \sqrt{5}\cos t \sqrt{5}\cos t dt = 5\int \cos^2 t dt
cos2t=1+cos2t2\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} より、
I=51+cos2t2dt=52t+54sin2t=52t+52sintcostI = 5\int \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = \frac{5}{2}t + \frac{5}{4}\sin 2t = \frac{5}{2}t + \frac{5}{2}\sin t \cos t
sint=x+25\sin t = \frac{x+2}{\sqrt{5}} より t=sin1(x+25)t = \sin^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}})
cost=1sin2t=1(x+25)2=5(x+2)25=14xx25\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - (\frac{x+2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{\frac{5 - (x+2)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1 - 4x - x^2}{5}}
I=52sin1(x+25)+52x+2514xx25=52sin1(x+25)+12(x+2)14xx2I = \frac{5}{2}\sin^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + \frac{5}{2}\frac{x+2}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{1 - 4x - x^2}{5}} = \frac{5}{2}\sin^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + \frac{1}{2}(x+2)\sqrt{1 - 4x - x^2}
最終的な答え: 12(x+2)14xx2+52sin1(x+25)\frac{1}{2}(x+2)\sqrt{1-4x-x^2} + \frac{5}{2}\sin^{-1}(\frac{x+2}{\sqrt{5}})
(12) x2x2+2\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}}
x=2sinhtx = \sqrt{2} \sinh t と置換します。
x=2sinhtx = \sqrt{2} \sinh t より dx=2coshtdtdx = \sqrt{2} \cosh t dt
I=2sinh2t2sinh2t+22coshtdt=2sinh2t2cosht2coshtdt=2sinh2tdtI = \int \frac{2\sinh^2 t}{\sqrt{2\sinh^2 t + 2}} \sqrt{2}\cosh t dt = \int \frac{2\sinh^2 t}{\sqrt{2}\cosh t} \sqrt{2}\cosh t dt = 2 \int \sinh^2 t dt
sinh2t=cosh2t12\sinh^2 t = \frac{\cosh 2t - 1}{2}
I=2cosh2t12dt=(cosh2t1)dt=12sinh2tt=sinhtcoshttI = 2 \int \frac{\cosh 2t - 1}{2} dt = \int (\cosh 2t - 1) dt = \frac{1}{2}\sinh 2t - t = \sinh t \cosh t - t
sinht=x2\sinh t = \frac{x}{\sqrt{2}} より t=sinh1(x2)t = \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})
cosht=1+sinh2t=1+x22=x2+22\cosh t = \sqrt{1 + \sinh^2 t} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{2}} = \sqrt{\frac{x^2 + 2}{2}}
I=x2x2+22sinh1(x2)=xx2+22sinh1(x2)I = \frac{x}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{x^2 + 2}{2}} - \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}}) = \frac{x\sqrt{x^2 + 2}}{2} - \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})
最終的な答え: xx2+22sinh1(x2)\frac{x\sqrt{x^2 + 2}}{2} - \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})

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