与えられた数列の和を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の6つの問題があります。 (1) $\sum_{k=1}^4 2$ (2) $\sum_{k=1}^{10} (2k+1)$ (3) $\sum_{i=1}^5 3^i$ (4) $\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{8}{9}n(n+10)^{11}$ (5) $\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{12} (\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3})$ (6) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{13}{14n+15}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の6つの問題があります。

(1) $\sum_{k=1}^4 2$

(2) $\sum_{k=1}^{10} (2k+1)$

(3) $\sum_{i=1}^5 3^i$

(4) $\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{8}{9}n(n+10)^{11}$

(5) $\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{12} (\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3})$

(6) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{13}{14n+15}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^4 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8$

(2) $\sum_{k=1}^{10} (2k+1) = 2\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 1 = 2 \cdot \frac{10(10+1)}{2} + 10 = 10 \cdot 11 + 10 = 110 + 10 = 120$

(3) $\sum_{i=1}^5 3^i = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363$

(4) $\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4} = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$

問題文から、$\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{8}{9}n(n+10)^{11}$となっているので、一般的な公式である$\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$とは異なる。与えられた形に合うように調整する。公式$\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$を使う。求める部分は、8, 9, 10, 11。公式と形が違うため問題がおかしい。しかし、問題の形に従うと、$(\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}$.与えられた式と比較して、空欄を埋める必要がある。

$\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$.

与えられた式は$\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{8}{9}n(n+\boxed{10})^{\boxed{11}}$. 恐らく$\frac{n^2(n+1)^2}{4}$と関連付ける必要がある。問題に誤りがある可能性が高いので、近似値で答える。

(5) $\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}$の部分分数分解を考える。$\frac{1}{A}-\frac{1}{B} = \frac{B-A}{AB}$である。$\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} = \frac{(4n+3) - (4n-1)}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{4}{(4n-1)(4n+3)}$。 따라서, $\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3})$. よって$\frac{1}{12} = \frac{1}{4}$から12は4となる。

(6) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4}\sum_{k=1}^n (\frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3})$.

これは望遠鏡和なので、

$\frac{1}{4} [(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{11}) + ... + (\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3})] = \frac{1}{4}(\frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4n+3-3}{3(4n+3)} = \frac{1}{4}\cdot \frac{4n}{3(4n+3)} = \frac{n}{3(4n+3)} = \frac{n}{12n+9}$.

問題文によると、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{13}{14n+15}$.

上記の結果と一致しないため、問題に誤りがあると考えられる。しかし、問題の形式にあわせる必要がある。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3}) = \frac{1}{4}(\frac{4n+3-3}{3(4n+3)}) = \frac{n}{3(4n+3)} = \frac{n}{12n+9}$. 分子を $n$にするように調整し、式変形する。

(1) 8

(2) 120

(3) 363

(4) 8->1, 9->4, 10->1, 11->2

(5) 12 -> 4

(6) 13 -> n, 14 -> 12, 15 -> 9

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 120

(3) 363

(4) 1/4 * n^2(n+1)^

2. 8は1, 9は4, 10は1, 11は2

(5) 4

(6) n / (12n + 9). 13はn, 14は12, 15は9