2つの曲線 $y=\sin x$ と $y=\cos x$ によって、区間 $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ で囲まれた部分の面積を求めます。

## (1) 2つの曲線 $y = \sin x$, $y = \cos x$ ($\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$) によって囲まれた部分の面積。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y=\sin x$ と $y=\cos x$ によって、区間 $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

- まず、区間 $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ で $\sin x$ と $\cos x$ の大小関係を調べます。

この区間では $\sin x \ge \cos x$ です。

- 面積は、積分によって計算できます。

- 面積 $S$ は、

$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx$

で求められます。

- 積分を実行します。

$S = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

- 積分範囲を代入します。

$S = (-\cos(\frac{5\pi}{4}) - \sin(\frac{5\pi}{4})) - (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4}))$

$S = (-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$S = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\sqrt{2})$

$S = \sqrt{2} + \sqrt{2}$

$S = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$

## (2) 楕円 $x = 3\cos \theta$, $y = 2\sin \theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) によって囲まれた部分の面積。

1. 問題の内容

媒介変数表示された楕円 $x=3\cos\theta$, $y=2\sin\theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

- 楕円の面積は $\pi ab$ で与えられます。ここで、$a$ と $b$ はそれぞれ長軸と短軸の長さの半分です。

- 与えられた媒介変数表示から、$a=3$、$b=2$ であることがわかります。

- したがって、面積 $S$ は $S = \pi ab = \pi (3)(2) = 6\pi$ で計算できます。

あるいは、積分の知識を使うと以下のように計算できます。

$S = \int_0^{2\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} 2\sin\theta (-3\sin\theta)d\theta = -6\int_0^{2\pi} \sin^2\theta d\theta = -6\int_0^{2\pi} \frac{1-\cos2\theta}{2}d\theta = -3[\theta - \frac{1}{2}\sin2\theta]_0^{2\pi} = -3(2\pi) = -6\pi$

面積は負にならないので$S = |-6\pi| = 6\pi$

3. 最終的な答え

$6\pi$

## (3) 曲線 $y = -x^2 + 4x$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分を、$x$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 4x$ と直線 $y = 2x$ で囲まれた部分を、$x$軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

- まず、2つの曲線の交点を求めます。

$-x^2 + 4x = 2x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

- 立体の体積 $V$ は、回転体の体積の公式を用いて計算します。

$V = \pi \int_0^2 ((-x^2 + 4x)^2 - (2x)^2) dx$

$V = \pi \int_0^2 (x^4 - 8x^3 + 16x^2 - 4x^2) dx$

$V = \pi \int_0^2 (x^4 - 8x^3 + 12x^2) dx$

$V = \pi [\frac{x^5}{5} - 2x^4 + 4x^3]_0^2$

$V = \pi (\frac{32}{5} - 32 + 32)$

$V = \pi (\frac{32}{5})$

$V = \frac{32\pi}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{32\pi}{5}$

## (4) 曲線 $y = 1 - \sqrt{x}$ と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた部分を、$y$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積。

1. 問題の内容

曲線 $y = 1 - \sqrt{x}$ と $x$軸、$y$軸で囲まれた部分を、$y$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

- まず、曲線の $x$軸との交点を求めます。$y = 0$ とおくと、

$1 - \sqrt{x} = 0$

$\sqrt{x} = 1$

$x = 1$

- $y$軸との交点は、$x = 0$ とおくと、

$y = 1 - \sqrt{0} = 1$

- $x$について解くと

$\sqrt{x} = 1 - y$

$x = (1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2$

- 立体の体積 $V$ は、バウムクーヘン積分を用いて計算します。

$V = \int_0^1 2\pi x y dx = \int_0^1 2\pi x (1 - \sqrt{x}) dx$

あるいは、$x = (1-y)^2$ とすると、$dx = 2(1-y)(-1)dy = -2(1-y)dy$

$x$軸は$y=0$で交わり、$y$軸は$y=1$で交わるので、$y$の積分範囲は$0$から$1$です。

回転軸がy軸なので、体積は

$V = \pi \int_0^1 x^2 dy = \pi \int_0^1 (1-y)^4 dy$

$V = \pi [-\frac{(1-y)^5}{5}]_0^1$

$V = \pi (0 - (-\frac{1}{5}))$

$V = \frac{\pi}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{5}$