与えられた4つの数式を計算して、できるだけ簡単にせよ。 (1) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x} \times \frac{x}{x+2}$ (2) $\frac{2x}{2x+1} \times \frac{2x^2 - 3x - 2}{x-2}$ (3) $\frac{x-2}{x^2+3x} \div \frac{x^2-3x}{x^2-9}$ (4) $\frac{x^2-x}{x-3} \div \frac{x^2+5x}{x^2+2x-15}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数式を計算して、できるだけ簡単にせよ。

(1) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x} \times \frac{x}{x+2}$

(2) $\frac{2x}{2x+1} \times \frac{2x^2 - 3x - 2}{x-2}$

(3) $\frac{x-2}{x^2+3x} \div \frac{x^2-3x}{x^2-9}$

(4) $\frac{x^2-x}{x-3} \div \frac{x^2+5x}{x^2+2x-15}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x} \times \frac{x}{x+2}$

まず、各項を因数分解する。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 - 3x = x(x-3)$

与式に代入すると、

$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-3)} \times \frac{x}{x+2}$

約分すると、

$\frac{x-2}{x-3}$

(2) $\frac{2x}{2x+1} \times \frac{2x^2 - 3x - 2}{x-2}$

$2x^2 - 3x - 2$ を因数分解する。

$2x^2 - 3x - 2 = (2x+1)(x-2)$

与式に代入すると、

$\frac{2x}{2x+1} \times \frac{(2x+1)(x-2)}{x-2}$

約分すると、

$2x$

(3) $\frac{x-2}{x^2+3x} \div \frac{x^2-3x}{x^2-9}$

割り算を掛け算に変換する。

$\frac{x-2}{x^2+3x} \times \frac{x^2-9}{x^2-3x}$

各項を因数分解する。

$x^2 + 3x = x(x+3)$

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

$x^2 - 3x = x(x-3)$

与式に代入すると、

$\frac{x-2}{x(x+3)} \times \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}$

約分すると、

$\frac{x-2}{x^2}$

(4) $\frac{x^2-x}{x-3} \div \frac{x^2+5x}{x^2+2x-15}$

割り算を掛け算に変換する。

$\frac{x^2-x}{x-3} \times \frac{x^2+2x-15}{x^2+5x}$

各項を因数分解する。

$x^2 - x = x(x-1)$

$x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3)$

$x^2 + 5x = x(x+5)$

与式に代入すると、

$\frac{x(x-1)}{x-3} \times \frac{(x+5)(x-3)}{x(x+5)}$

約分すると、

$x-1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-2}{x-3}$

(2) $2x$

(3) $\frac{x-2}{x^2}$

(4) $x-1$