質量 $m$ の質点に、鉛直下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する大きさ $bv$ の粘性抵抗力が作用している。水平方向を $x$、鉛直上向きを $y$ とした平面上の運動について、運動方程式を立て、成分を用いて書き表す。ここで、$v$ は速度ベクトルである。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点に、鉛直下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する大きさ $bv$ の粘性抵抗力が作用している。水平方向を $x$、鉛直上向きを $y$ とした平面上の運動について、運動方程式を立て、成分を用いて書き表す。ここで、$v$ は速度ベクトルである。

2. 解き方の手順

まず、運動方程式をベクトル形式で記述する。質点に作用する力は重力と粘性抵抗力である。重力は鉛直下向きなので、$-\vec{j}$ 方向に作用する。粘性抵抗力は速度と反対方向に作用する。したがって、運動方程式は次のように表される。

$m\frac{d\vec{v}}{dt} = -mg\vec{j} - b\vec{v}$

次に、この運動方程式を $x$ 成分と $y$ 成分に分解する。速度ベクトル $\vec{v}$ は、$\vec{v} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j}$ と表せる。したがって、加速度ベクトル $\frac{d\vec{v}}{dt}$ は、$\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\vec{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\vec{j}$ となる。運動方程式の $x$ 成分は、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -b\frac{dx}{dt}$

運動方程式の $y$ 成分は、

$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - b\frac{dy}{dt}$

3. 最終的な答え

運動方程式はベクトル形式で

$m\frac{d\vec{v}}{dt} = -mg\vec{j} - b\vec{v}$

成分表示では、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -b\frac{dx}{dt}$

$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - b\frac{dy}{dt}$