質量 $m_A$ の物体Aの上に質量 $m_B$ の物体Bが置かれている。AとBの間の静止摩擦係数は $\mu$ である。物体Aを力 $f$ で水平方向に引くとき、物体Bが物体Aからずれないようにするための力 $f$ の大きさの上限を求める。ただし、鉛直方向に作用する力は重力と垂直抗力のみであり、床とAの間には摩擦はないものとする。

1. 問題の内容

質量 $m_A$ の物体Aの上に質量 $m_B$ の物体Bが置かれている。AとBの間の静止摩擦係数は $\mu$ である。物体Aを力 $f$ で水平方向に引くとき、物体Bが物体Aからずれないようにするための力 $f$ の大きさの上限を求める。ただし、鉛直方向に作用する力は重力と垂直抗力のみであり、床とAの間には摩擦はないものとする。

2. 解き方の手順

(1) 物体Bに着目する。物体BがAからずれないためには、物体Aの加速度 $a$ と物体Bの加速度が等しくなければならない。物体Bに働く力は、重力 $m_B g$、垂直抗力 $N_B$、静止摩擦力 $f_B$ である。水平方向には静止摩擦力のみが働くので、運動方程式は次のようになる。

$m_B a = f_B$

(2) 静止摩擦力 $f_B$ は最大静止摩擦力 $\mu N_B$ を超えることはない。$N_B$ は物体Bの重力と釣り合っているので、$N_B = m_B g$ である。したがって、$f_B \le \mu m_B g$ となる。

(3) (1) と (2) より、$m_B a \le \mu m_B g$ であるから、$a \le \mu g$ となる。これは、物体Aと物体Bの加速度の最大値が $\mu g$ であることを意味する。

(4) 次に、物体Aと物体Bを一体として考える。この系の質量は $m_A + m_B$ であり、働く力は $f$ である。したがって、運動方程式は次のようになる。

$(m_A + m_B) a = f$

(5) (3) より、$a \le \mu g$ であるから、

$f = (m_A + m_B) a \le (m_A + m_B) \mu g$

したがって、力 $f$ の上限は $(m_A + m_B) \mu g$ である。

3. 最終的な答え

力 $f$ の大きさの上限は $\mu (m_A + m_B) g$