放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を、$x$軸方向に3、$y$軸方向に$p$だけ平行移動し、さらに直線 $x=1$ に関して対称移動したところ、放物線 $y = 2x^2 - 4$ と一致した。このとき、定数 $a, b, p$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を、$x$軸方向に3、$y$軸方向に$p$だけ平行移動し、さらに直線 $x=1$ に関して対称移動したところ、放物線 $y = 2x^2 - 4$ と一致した。このとき、定数 $a, b, p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = ax^2 + bx + 1$ を、$x$軸方向に3、$y$軸方向に$p$だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

$x$軸方向に3の平行移動は、$x$ を $x-3$ に置き換える。

$y$軸方向に$p$の平行移動は、$y$ を $y-p$ に置き換える。

したがって、平行移動後の放物線の方程式は、

$y - p = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1$

$y = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1 + p$

次に、この放物線を直線 $x=1$ に関して対称移動する。

$x$軸方向に対称移動するため、$x$を $2 - x + 2 = 4-x$に置き換える。

$x$軸方向に$x=1$に関して対象に移動させるには $x'=2-x$　　$x=-x'+2$ で置き換える。

$y = a(2-x - 3)^2 + b(2-x - 3) + 1 + p$

$y = a(-x-1)^2 + b(-x-1) + 1 + p$

$y = a(x+1)^2 - b(x+1) + 1 + p$

$y = a(x^2+2x+1) - b(x+1) + 1 + p$

$y = ax^2 + 2ax + a - bx - b + 1 + p$

$y = ax^2 + (2a - b)x + (a - b + 1 + p)$

この放物線が、$y = 2x^2 - 4$ と一致するので、係数を比較する。

$a = 2$

$2a - b = 0$

$a - b + 1 + p = -4$

$a = 2$ より、$2(2) - b = 0$ なので、$4 - b = 0$

$b = 4$

$a - b + 1 + p = -4$ に $a = 2$, $b = 4$ を代入すると、

$2 - 4 + 1 + p = -4$

$-1 + p = -4$

$p = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 4$, $p = -3$