行列 $A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ に対して、以下の等式を証明する。 (1) $A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$ (2) $A(\alpha + \beta) = A(\alpha)A(\beta)$

1. 問題の内容

行列 $A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ に対して、以下の等式を証明する。

(1) $A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$

(2) $A(\alpha + \beta) = A(\alpha)A(\beta)$

2. 解き方の手順

(1)

行列 $A(\theta)$ の逆行列 $A(\theta)^{-1}$ を求める。

$A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ の行列式は $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ なので、逆行列は存在する。逆行列の公式から

$A(\theta)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

一方、$A(-\theta)$ は

$A(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

よって、$A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$ が成り立つ。

(2)

$A(\alpha + \beta)$ は

$A(\alpha + \beta) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha + \beta) & -\sin (\alpha + \beta) \\ \sin (\alpha + \beta) & \cos (\alpha + \beta) \end{pmatrix}$

$A(\alpha)A(\beta)$ は

$A(\alpha)A(\beta) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より、

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

であるから、

$A(\alpha)A(\beta) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha + \beta) & -\sin (\alpha + \beta) \\ \sin (\alpha + \beta) & \cos (\alpha + \beta) \end{pmatrix} = A(\alpha + \beta)$

よって、$A(\alpha + \beta) = A(\alpha)A(\beta)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$

$A(\theta)^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = A(-\theta)$

(2) $A(\alpha + \beta) = A(\alpha)A(\beta)$

$A(\alpha + \beta) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha + \beta) & -\sin (\alpha + \beta) \\ \sin (\alpha + \beta) & \cos (\alpha + \beta) \end{pmatrix} = A(\alpha)A(\beta)$