$(a-b+c)^2$ を展開する。

## 問題の回答

問題画像にある数学の問題を解きます。

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4. 次の式を展開せよ。

**(1) $(a-b+c)^2$**

**(2) $(x+y+z)(x-y-z)$**

**(3) $(x^2+3x-2)(x^2+3x+3)$**

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5. 次の式を展開せよ。

**(1) $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$**

**(2) $(p+2q)^2(p-2q)^2$**

**(3) $(x+1)(x-2)(x^2-x+1)(x^2+2x+4)$**

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6. 次の式を計算せよ。

**(1) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$**

**(2) $(a+b+c)^2+(b+c-a)^2 + (c+a-b)^2+(a+b-c)^2$**

**(3) $(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$**

以下、それぞれの問題の解答と解説です。

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4. (1) $(a-b+c)^2$

1. **問題の内容**

$(a-b+c)^2$ を展開する。

2. **解き方の手順**

$(a-b+c)^2 = ((a-b)+c)^2$ と変形して展開する。

$((a-b)+c)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)c + c^2$

$= a^2 - 2ab + b^2 + 2ac - 2bc + c^2$

$= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$

3. **最終的な答え**

$a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$

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4. (2) $(x+y+z)(x-y-z)$

1. **問題の内容**

$(x+y+z)(x-y-z)$ を展開する。

2. **解き方の手順**

$(x+y+z)(x-y-z) = (x+(y+z))(x-(y+z))$ と変形する。

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、

$(x+(y+z))(x-(y+z)) = x^2 - (y+z)^2$

$= x^2 - (y^2 + 2yz + z^2)$

$= x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$

3. **最終的な答え**

$x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$

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4. (3) $(x^2+3x-2)(x^2+3x+3)$

1. **問題の内容**

$(x^2+3x-2)(x^2+3x+3)$ を展開する。

2. **解き方の手順**

$x^2+3x = A$ と置くと、

$(x^2+3x-2)(x^2+3x+3) = (A-2)(A+3)$

$= A^2 + A - 6$

ここで、$A=x^2+3x$ を代入する。

$(x^2+3x)^2 + (x^2+3x) - 6$

$= (x^4 + 6x^3 + 9x^2) + (x^2 + 3x) - 6$

$= x^4 + 6x^3 + 10x^2 + 3x - 6$

3. **最終的な答え**

$x^4 + 6x^3 + 10x^2 + 3x - 6$

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5. (1) $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$

1. **問題の内容**

$(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$ を展開する。

2. **解き方の手順**

$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ なので、

$(x+y)(x^2+y^2)(x-y) = (x^2 - y^2)(x^2+y^2)$

$= (x^2)^2 - (y^2)^2$

$= x^4 - y^4$

3. **最終的な答え**

$x^4 - y^4$

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5. (2) $(p+2q)^2(p-2q)^2$

1. **問題の内容**

$(p+2q)^2(p-2q)^2$ を展開する。

2. **解き方の手順**

$(p+2q)^2(p-2q)^2 = ((p+2q)(p-2q))^2$

$= (p^2 - 4q^2)^2$

$= p^4 - 8p^2q^2 + 16q^4$

3. **最終的な答え**

$p^4 - 8p^2q^2 + 16q^4$

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5. (3) $(x+1)(x-2)(x^2-x+1)(x^2+2x+4)$

1. **問題の内容**

$(x+1)(x-2)(x^2-x+1)(x^2+2x+4)$ を展開する。

2. **解き方の手順**

$(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$、 $(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8$より、

与式$= (x^3+1)(x^3-8)$

$= x^6-8x^3+x^3-8$

$= x^6-7x^3-8$

3. **最終的な答え**

$x^6 - 7x^3 - 8$

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6. (1) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

1. **問題の内容**

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ を展開する。

2. **解き方の手順**

$(x-1)(x-4)=x^2-5x+4$

$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$

$A=x^2-5x$とすると、与式$=(A+4)(A+6)$

$=A^2+10A+24$

$=(x^2-5x)^2+10(x^2-5x)+24$

$=x^4-10x^3+25x^2+10x^2-50x+24$

$=x^4-10x^3+35x^2-50x+24$

3. **最終的な答え**

$x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

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6. (2) $(a+b+c)^2+(b+c-a)^2 + (c+a-b)^2+(a+b-c)^2$

1. **問題の内容**

$(a+b+c)^2+(b+c-a)^2 + (c+a-b)^2+(a+b-c)^2$ を計算する。

2. **解き方の手順**

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca$

$(c+a-b)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2bc + 2ca - 2ab$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2bc - 2ca + 2ab$

これらを全て足し合わせると、

$4(a^2 + b^2 + c^2)$

3. **最終的な答え**

$4a^2 + 4b^2 + 4c^2$

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6. (3) $(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$

1. **問題の内容**

$(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$ を計算する。

2. **解き方の手順**

$a^2+4b^2+1+2a+4b+4ab-6a^2-2ab+a+2b-4a$

与式 $= (a+2b+1)((a^2-a+1)-2b(a+1)+4b^2)$

公式 $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = x^3+y^3+z^3-3xyz$ を利用する。

$x=a$, $y=2b$, $z=1$ を代入すると

$= a^3+(2b)^3+1^3 - 3a(2b)(1) = a^3 + 8b^3 + 1 - 6ab$

$= a^3 + 8b^3 - 6ab + 1$

3. **最終的な答え**

$a^3+8b^3-6ab+1$