放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した後, 直線 $x = 1$ に関して対称移動したところ, 放物線 $y = 2x^2 - 4$ に重なった。このとき, 定数 $a, b, p$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した後, 直線 $x = 1$ に関して対称移動したところ, 放物線 $y = 2x^2 - 4$ に重なった。このとき, 定数 $a, b, p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず, 放物線 $y = ax^2 + bx + 1$ を $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した後の放物線の方程式を求める。平行移動は, $x$ を $x - 3$ に, $y$ を $y - p$ に置き換えることで行える。

よって, 移動後の放物線の方程式は

$y - p = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1$

$y = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + 1 + p$

$y = a(x^2 - 6x + 9) + b(x - 3) + 1 + p$

$y = ax^2 - 6ax + 9a + bx - 3b + 1 + p$

$y = ax^2 + (-6a + b)x + (9a - 3b + 1 + p)$

次に, 得られた放物線を直線 $x = 1$ に関して対称移動する。$x$ 軸方向の対称移動は, $x$ を $2 - x$ に置き換えることで行える。

$y = a(2 - x)^2 + (-6a + b)(2 - x) + (9a - 3b + 1 + p)$

$y = a(4 - 4x + x^2) + (-12a + 2b + 6ax - bx) + (9a - 3b + 1 + p)$

$y = ax^2 + (-4a + 6a - b)x + (4a - 12a + 2b + 9a - 3b + 1 + p)$

$y = ax^2 + (2a - b)x + (a - b + 1 + p)$

これが $y = 2x^2 - 4$ と一致するので, 係数を比較して以下の式を得る。

$a = 2$

$2a - b = 0$

$a - b + 1 + p = -4$

$a = 2$ を $2a - b = 0$ に代入すると, $2(2) - b = 0$ より $b = 4$

$a = 2$, $b = 4$ を $a - b + 1 + p = -4$ に代入すると, $2 - 4 + 1 + p = -4$ より $-1 + p = -4$ となり, $p = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 4$

$p = -3$