与えられた行列式の値を計算します。 行列式は以下です。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算します。

行列式は以下です。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 5 & 7 \\

3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\

3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列式はヴァンデルモンドの行列式です。ヴァンデルモンドの行列式は次の形式を持ちます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix}

= \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

$$

与えられた行列式では、$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 5, x_4 = 7$ となります。したがって、行列式は次のようになります。

$(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_4 - x_1)(x_3 - x_2)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3)$

$= (2 - 3)(5 - 3)(7 - 3)(5 - 2)(7 - 2)(7 - 5)$

$= (-1)(2)(4)(3)(5)(2)$

$= -1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2$

$= -240$

3. 最終的な答え

-240