放物線 $y = -x^2 + 4x - 2$ を与えられた平行移動を行った後の放物線の頂点の座標と、平行移動後の放物線の式を求める問題です。 (1) は $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $3$ 平行移動する場合。 (2) は $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-4$ 平行移動する場合。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 4x - 2$ を与えられた平行移動を行った後の放物線の頂点の座標と、平行移動後の放物線の式を求める問題です。

(1) は $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $3$ 平行移動する場合。

(2) は $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-4$ 平行移動する場合。

2. 解き方の手順

まず、元の放物線 $y = -x^2 + 4x - 2$ を平方完成し、頂点の座標を求めます。

$y = -(x^2 - 4x) - 2$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2$

$y = -(x - 2)^2 + 4 - 2$

$y = -(x - 2)^2 + 2$

したがって、元の放物線の頂点は $(2, 2)$ です。

(1) $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $3$ 平行移動する場合:

頂点の座標は $(2 + 2, 2 + 3) = (4, 5)$ となります。

放物線の式は、平行移動の公式 $x \rightarrow x - 2$ および $y \rightarrow y - 3$ を元の式に代入します。

$y - 3 = -(x - 2)^2 + 4(x - 2) - 2$

$y = -(x - 2)^2 + 4(x - 2) - 2 + 3$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4x - 8 - 2 + 3$

$y = -x^2 + 4x - 4 + 4x - 7$

$y = -x^2 + 8x - 11$

別の方法としては、平方完成した式を使う方法があります。

平行移動後の放物線の式は $y - 3 = -((x - 2) - 2)^2 + 2$ です。

$y - 3 = -(x - 4)^2 + 2$

$y = -(x - 4)^2 + 5$

$y = -(x^2 - 8x + 16) + 5$

$y = -x^2 + 8x - 16 + 5$

$y = -x^2 + 8x - 11$

(2) $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-4$ 平行移動する場合:

頂点の座標は $(2 + (-1), 2 + (-4)) = (1, -2)$ となります。

放物線の式は、平行移動の公式 $x \rightarrow x + 1$ および $y \rightarrow y + 4$ を元の式に代入します。

$y + 4 = -(x + 1)^2 + 4(x + 1) - 2$

$y = -(x + 1)^2 + 4(x + 1) - 2 - 4$

$y = -(x^2 + 2x + 1) + 4x + 4 - 6$

$y = -x^2 - 2x - 1 + 4x - 2$

$y = -x^2 + 2x - 3$

別の方法としては、平方完成した式を使う方法があります。

平行移動後の放物線の式は $y + 4 = -((x - 2) + 1)^2 + 2$ です。

$y + 4 = -(x - 1)^2 + 2$

$y = -(x - 1)^2 - 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1) - 2$

$y = -x^2 + 2x - 1 - 2$

$y = -x^2 + 2x - 3$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(4, 5)$, 放物線の式: $y = -x^2 + 8x - 11$

(2) 頂点の座標: $(1, -2)$, 放物線の式: $y = -x^2 + 2x - 3$