(1) 放物線 $y = -3x^2$ を平行移動したもので、頂点の座標が $(-2, 3)$ であるような2次関数を求める。 (2) 頂点が放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点と同じであり、$y$軸と点 $(0, 5)$ で交わるような2次関数を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = -3x^2$ を平行移動したもので、頂点の座標が $(-2, 3)$ であるような2次関数を求める。

(2) 頂点が放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点と同じであり、$y$軸と点 $(0, 5)$ で交わるような2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

頂点の座標が $(-2, 3)$ であることから、求める2次関数は $y = a(x + 2)^2 + 3$ の形になることがわかる。

元の放物線 $y = -3x^2$ を平行移動したものであるから、$x^2$ の係数は $-3$ となる。

したがって、$a = -3$。

よって、求める2次関数は $y = -3(x + 2)^2 + 3$。

これを展開すると、$y = -3(x^2 + 4x + 4) + 3 = -3x^2 - 12x - 12 + 3 = -3x^2 - 12x - 9$。

(2)

まず、放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点を求める。

$y = 2(x^2 - 4x) + 9 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9 = 2((x - 2)^2 - 4) + 9 = 2(x - 2)^2 - 8 + 9 = 2(x - 2)^2 + 1$

よって、この放物線の頂点の座標は $(2, 1)$ である。

求める2次関数は、頂点が $(2, 1)$ であることから、$y = a(x - 2)^2 + 1$ の形になる。

また、$y$軸との交点が $(0, 5)$ であることから、$x = 0$ のとき $y = 5$ となる。

これを代入すると、$5 = a(0 - 2)^2 + 1 = 4a + 1$。

よって、$4a = 4$ より $a = 1$。

したがって、求める2次関数は $y = (x - 2)^2 + 1$。

これを展開すると、$y = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x^2 - 12x - 9$

(2) $y = x^2 - 4x + 5$