質量 $m$ の質点が、角速度 $\omega$ で半径 $r$ の円運動をしているとき、以下の量を求める問題です。 (1) 向心力の大きさ (2) 合力の接線成分の大きさ (3) 運動量の大きさ (4) 角運動量の大きさ 選択肢として、1: $mr\omega$, 2: $mr\omega^2$, 3: $mr^2\omega$, 4: $mr\frac{d\omega}{dt}$, 5: $\frac{1}{2}mr^2\omega^2$ が与えられています。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、角速度 $\omega$ で半径 $r$ の円運動をしているとき、以下の量を求める問題です。

(1) 向心力の大きさ

(2) 合力の接線成分の大きさ

(3) 運動量の大きさ

(4) 角運動量の大きさ

選択肢として、1: $mr\omega$, 2: $mr\omega^2$, 3: $mr^2\omega$, 4: $mr\frac{d\omega}{dt}$, 5: $\frac{1}{2}mr^2\omega^2$ が与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 向心力：

向心力は、円運動の中心に向かう力であり、その大きさは、質量 $m$、速さ $v$、半径 $r$ を用いて $F = \frac{mv^2}{r}$ で表されます。また、速さ $v$ は、角速度 $\omega$ を用いて $v = r\omega$ と表されるため、向心力の大きさは、

$F = \frac{m(r\omega)^2}{r} = mr\omega^2$

となります。

(2) 合力の接線成分：

角速度 $\omega$ が一定である（等速円運動）ため、角加速度 $\frac{d\omega}{dt}$ は 0 です。したがって、接線方向の加速度も 0 となり、合力の接線成分の大きさも 0 となります。選択肢には0がないため、問題が不適切である可能性があります。または$\omega$は一定とは限らないので、

$F = m a = m r \frac{d\omega}{dt}$

となります。

(3) 運動量：

運動量 $p$ は、質量 $m$ と速度 $v$ の積で表され、$p = mv$ です。円運動の場合、$v = r\omega$ なので、

$p = mr\omega$

となります。

(4) 角運動量：

角運動量 $L$ は、位置ベクトル $\mathbf{r}$ と運動量ベクトル $\mathbf{p}$ の外積で定義されます。大きさは、$L = r p = rmv = mr^2\omega$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 向心力の大きさ：$mr\omega^2$ （選択肢2）

(2) 合力の接線成分の大きさ：0 もしくは　$mr\frac{d\omega}{dt}$ (選択肢4)

(3) 運動量の大きさ：$mr\omega$ (選択肢1)

(4) 角運動量の大きさ：$mr^2\omega$ (選択肢3)