放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ と直線 $y = mx$ について、以下の問いに答えます。 (1) 放物線と直線が異なる2点P, Qで交わるための $m$ の範囲を求めます。 (2) 線分PQの中点Mの座標を $m$ で表します。 (3) $m$ が(1)で求めた範囲を動くとき、点Mの軌跡を求めます。

はい、承知いたしました。問題の解法を以下に示します。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ と直線 $y = mx$ について、以下の問いに答えます。

(1) 放物線と直線が異なる2点P, Qで交わるための $m$ の範囲を求めます。

(2) 線分PQの中点Mの座標を $m$ で表します。

(3) $m$ が(1)で求めた範囲を動くとき、点Mの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ と直線 $y = mx$ の交点を求めるため、$y$ を消去し、$x$ の二次方程式を作ります。

$x^2 - 2x + 1 = mx$

$x^2 - (2+m)x + 1 = 0$

この二次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (2+m)^2 - 4(1)(1) = m^2 + 4m + 4 - 4 = m^2 + 4m$

$m^2 + 4m > 0$

$m(m+4) > 0$

したがって、$m < -4$ または $m > 0$

(2) 二次方程式 $x^2 - (2+m)x + 1 = 0$ の2つの解を $x_1, x_2$ とします。

解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = 2+m$ です。

線分PQの中点Mの $x$ 座標は $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2+m}{2}$ となります。

中点Mの $y$ 座標は、$y = mx$ より、$y = m \cdot \frac{2+m}{2} = \frac{2m+m^2}{2}$ となります。

したがって、点Mの座標は $(\frac{2+m}{2}, \frac{2m+m^2}{2})$ です。

(3) 点Mの座標を $(X, Y)$ とすると、$X = \frac{2+m}{2}$ , $Y = \frac{2m+m^2}{2}$ です。

$m = 2X - 2$ を $Y$ に代入します。

$Y = \frac{2(2X-2) + (2X-2)^2}{2} = \frac{4X - 4 + 4X^2 - 8X + 4}{2} = \frac{4X^2 - 4X}{2} = 2X^2 - 2X$

$Y = 2X^2 - 2X = 2(X^2 - X) = 2(X - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

$m < -4$ のとき、$X = \frac{2+m}{2} < \frac{2-4}{2} = -1$

$m > 0$ のとき、$X = \frac{2+m}{2} > \frac{2+0}{2} = 1$

したがって、点Mの軌跡は、放物線 $y = 2x^2 - 2x$ の $x < -1$ または $x > 1$ の部分です。

3. 最終的な答え

(1) $m < -4$ または $m > 0$

(2) $(\frac{2+m}{2}, \frac{2m+m^2}{2})$

(3) $y = 2x^2 - 2x$ ($x < -1$ または $x > 1$)