与えられた4x4の行列式を計算する問題です。行列式は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式を計算する問題です。行列式は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式の計算を簡単にするために、いくつかの行基本変形を行います。

ステップ1: 第3列を基準に、第1行を第2,3,4行から引きます。

$\begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2-3 & 2^3-2^2 & 0 & 6 \\ 3^3-3 & 2^4-2^2 & 0 & 48 \\ 3^4-3 & 2^5-2^2 & 0 & 342 \end{vmatrix}$

ステップ2: 第3列に関して余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix} 3^2-3 & 2^3-2^2 & 6 \\ 3^3-3 & 2^4-2^2 & 48 \\ 3^4-3 & 2^5-2^2 & 342 \end{vmatrix}$

これは、

$\begin{vmatrix} 6 & 4 & 6 \\ 24 & 12 & 48 \\ 78 & 28 & 342 \end{vmatrix}$

となります。

ステップ3: 行列式の性質を利用して、計算を簡単にするため、列から定数をくくりだします。

第1列から6を、第2列から4をくくりだします。

$6 \times 4 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 4 & 3 & 48 \\ 13 & 7 & 342 \end{vmatrix} = 24 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 4 & 3 & 48 \\ 13 & 7 & 342 \end{vmatrix}$

ステップ4: 第1行を基準に、第2,3行から定数倍を引き算します。第2行から第1行の4倍、第3行から第1行の13倍を引きます。

$24 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & 24 \\ 0 & -6 & 264 \end{vmatrix}$

ステップ5: 第1列に関して余因子展開を行います。

$24 \times \begin{vmatrix} -1 & 24 \\ -6 & 264 \end{vmatrix}$

ステップ6: 2x2行列式を計算します。

$24 \times ((-1)(264) - (24)(-6)) = 24 \times (-264 + 144) = 24 \times (-120) = -2880$

3. 最終的な答え

-2880