画像にある問題は、5と6に分かれています。 5は式の展開、6は式の計算です。 5. 次の式を展開せよ。 (1) $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$ (2) $(p+2q)^2(p-2q)^2$ (3) $(x+1)(x-2)(x^2-x+1)(x^2+2x+4)$ 6. 次の式を計算せよ。 (1) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ (2) $(a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2+(a+b-c)^2$ (3) $(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$

はい、承知いたしました。数学の問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

画像にある問題は、5と6に分かれています。

5は式の展開、6は式の計算です。

5. 次の式を展開せよ。

(1) $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$

(2) $(p+2q)^2(p-2q)^2$

(3) $(x+1)(x-2)(x^2-x+1)(x^2+2x+4)$

6. 次の式を計算せよ。

(1) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

(2) $(a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2+(a+b-c)^2$

(3) $(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$

2. 解き方の手順

各問題の解き方を説明します。

5. (1) $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$

まず、$(x+y)(x-y)$を計算します。これは和と差の積の公式で、$x^2-y^2$となります。

次に、$(x^2-y^2)(x^2+y^2)$を計算します。これも和と差の積の公式で、$x^4-y^4$となります。

5. (2) $(p+2q)^2(p-2q)^2$

$(p+2q)^2$と$(p-2q)^2$を展開します。

$(p+2q)^2 = p^2+4pq+4q^2$

$(p-2q)^2 = p^2-4pq+4q^2$

したがって、

$(p+2q)^2(p-2q)^2 = (p^2+4pq+4q^2)(p^2-4pq+4q^2)$

ここで、$A = p^2+4q^2$とおくと、

$(A+4pq)(A-4pq) = A^2-(4pq)^2$

$= (p^2+4q^2)^2 - 16p^2q^2$

$= p^4+8p^2q^2+16q^4-16p^2q^2$

$= p^4 - 8p^2q^2 + 16q^4$

5. (3) $(x+1)(x-2)(x^2-x+1)(x^2+2x+4)$

$(x+1)(x^2-x+1)$を計算すると、$x^3+1$となります。

$(x-2)(x^2+2x+4)$を計算すると、$x^3-8$となります。

したがって、$(x^3+1)(x^3-8)$を計算すると、$x^6-8x^3+x^3-8 = x^6-7x^3-8$となります。

6. (1) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

$(x-1)(x-4)$と$(x-2)(x-3)$を計算します。

$(x-1)(x-4) = x^2-5x+4$

$(x-2)(x-3) = x^2-5x+6$

ここで、$A = x^2-5x$とおくと、

$(A+4)(A+6) = A^2+10A+24 = (x^2-5x)^2+10(x^2-5x)+24$

$= x^4-10x^3+25x^2+10x^2-50x+24 = x^4-10x^3+35x^2-50x+24$

6. (2) $(a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2+(a+b-c)^2$

各項を展開します。

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

$(b+c-a)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca$

$(c+a-b)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca$

$(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca$

合計すると、

$4(a^2+b^2+c^2)$

6. (3) $(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$

$(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)=a^3+8b^3+1 -3a^2b+3ab^2-3ab$

$a+2b=X$とおく.

$(X+1)(X^2-3ab -X+1)$

3. 最終的な答え

5. (1) $x^4-y^4$

(2) $p^4 - 8p^2q^2 + 16q^4$

(3) $x^6-7x^3-8$

6. (1) $x^4-10x^3+35x^2-50x+24$

(2) $4(a^2+b^2+c^2)$

(3) $a^3 + 8b^3 + 1 + 6ab - 3 a^2 - 12 b^2$

(a+2b+1)(a^2 -2ab - a + 4b^2 -2b +1)=a^3-2a^2 b-a^2 +4 a b^2-2ab +a+ 2a^2 b-4 ab^2-2ab +8b^3-4 b^2+2b+a^2-2ab - a + 4b^2 -2b +1 = a^3 -4 ab + 8b^3+1= a^3 + 8b^3 -6ab+1$

(3) $a^3+8b^3+1 - 6ab$

または

$(3) a^3+8b^3-6ab+1$

(3) $a^3+8b^3-6ab+1$

(3) $a^3+8b^3-6ab+1$

以上です。