2次方程式 $x^2 + 4x - 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4x - 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係は以下のようになります。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

与えられた2次方程式 $x^2 + 4x - 6 = 0$ において、$a = 1$, $b = 4$, $c = -6$ です。したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{4}{1} = -4$

$\alpha\beta = \frac{-6}{1} = -6$

次に、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ を因数分解します。

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を代入します。

$\alpha\beta(\alpha + \beta) = (-6) \times (-4)$

したがって、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = 24$ となります。

3. 最終的な答え

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = 24$