1. バネ定数 $4 \, \text{N/m}$ のバネに質量 $2 \, \text{kg}$ の質点がつながれ、水平な床に置かれています。バネの自然長の位置を原点とし、バネの伸びる方向を $x$ 軸の正の向きとします。 a. 時刻 $t$ における質点の変位を $x(t)$ とするとき、質点の運動方程式を求めます。 b. 初期条件として、$x = 3$ の位置までバネを伸ばし、そっと離した場合の時刻 $t$ における質点の変位 $x(t)$ を求めます。

1. 問題の内容

1. バネ定数 $4 \, \text{N/m}$ のバネに質量 $2 \, \text{kg}$ の質点がつながれ、水平な床に置かれています。バネの自然長の位置を原点とし、バネの伸びる方向を $x$ 軸の正の向きとします。

a. 時刻 $t$ における質点の変位を $x(t)$ とするとき、質点の運動方程式を求めます。

b. 初期条件として、$x = 3$ の位置までバネを伸ばし、そっと離した場合の時刻 $t$ における質点の変位 $x(t)$ を求めます。

2. 一端が天井に固定され、鉛直方向に伸び縮みするバネ (バネ定数 $k = 4 \, \text{N/m}$) の他端に質量 $2 \, \text{kg}$ のおもりが吊るされています。

a. 鉛直下向きに、バネの自然長からの変位を $x(t)$ とするとき、おもりの運動方程式を求めます。また、$y = x - \frac{1}{2}g$ に関する微分方程式を導出します。

b. $x, y$ の一般解を求めます。

2. 解き方の手順

問題1

a. 運動方程式は、ニュートンの運動法則 $F = ma$ から導かれます。バネの弾性力は $F = -kx$ であり、質量の加速度は $\frac{d^2x}{dt^2}$ なので、運動方程式は以下のようになります。

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

$2\frac{d^2x}{dt^2} = -4x$

$\frac{d^2x}{dt^2} = -2x$

b. 初期条件 $x(0) = 3$ および $\frac{dx}{dt}(0) = 0$ を用いて、運動方程式の解を求めます。一般解は $x(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ の形になります。ここで、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2}$ です。

$x(t) = A \cos(\sqrt{2}t) + B \sin(\sqrt{2}t)$

初期条件 $x(0) = 3$ より、$x(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A = 3$。

したがって、$x(t) = 3 \cos(\sqrt{2}t) + B \sin(\sqrt{2}t)$。

$\frac{dx}{dt} = -3\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}t) + B\sqrt{2} \cos(\sqrt{2}t)$

初期条件 $\frac{dx}{dt}(0) = 0$ より、$\frac{dx}{dt}(0) = -3\sqrt{2} \sin(0) + B\sqrt{2} \cos(0) = B\sqrt{2} = 0$。よって、$B = 0$。

したがって、$x(t) = 3 \cos(\sqrt{2}t)$。

問題2

a. 鉛直下向きを正とします。おもりには重力 $mg$ とバネの弾性力 $-kx$ が働きます。したがって、運動方程式は以下のようになります。

$m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - kx$

$2\frac{d^2x}{dt^2} = 2g - 4x$

$\frac{d^2x}{dt^2} = g - 2x$

ここで、$y = x - \frac{1}{2}g$ とすると、$x = y + \frac{1}{2}g$ であり、$\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$ および $\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2y}{dt^2}$ となります。したがって、

$\frac{d^2y}{dt^2} = g - 2(y + \frac{1}{2}g) = g - 2y - g = -2y$

$\frac{d^2y}{dt^2} = -2y$

b. $y$ の一般解は $y(t) = C \cos(\sqrt{2}t) + D \sin(\sqrt{2}t)$ の形になります。

$x = y + \frac{1}{2}g$ なので、$x(t) = C \cos(\sqrt{2}t) + D \sin(\sqrt{2}t) + \frac{1}{2}g$ となります。

3. 最終的な答え

問題1

a. $\frac{d^2x}{dt^2} = -2x$

b. $x(t) = 3 \cos(\sqrt{2}t)$

問題2

a. $\frac{d^2x}{dt^2} = g - 2x$ , $\frac{d^2y}{dt^2} = -2y$

b. $x(t) = C \cos(\sqrt{2}t) + D \sin(\sqrt{2}t) + \frac{1}{2}g$, $y(t) = C \cos(\sqrt{2}t) + D \sin(\sqrt{2}t)$