与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3 \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix}

2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\

-3^3 & 1 & 3^2 & -3 \\

7^3 & 1 & 7^2 & 7 \\

5^3 & 1 & 5^2 & 5

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列の各列を見て、計算を簡単にするために列に関する操作を行うことを検討します。第2列がすべて1であることに注目します。第2列を使って、他の列の要素を0にすることを考えます。

第1列から第3列に定数倍を足したり引いたりして、行列式を変えずに計算を簡略化します。具体的には、以下のように変形します。

* 第1列から第4列の2乗を引く： $C_1 \leftarrow C_1 - C_4^2$

* 第3列から第4列の1乗を引く： $C_3 \leftarrow C_3 - C_4$

すると、行列は次のようになります。

$\begin{vmatrix}

2^3 - 2^2 & 1 & 2^2 - 2 & 2 \\

-3^3 - (-3)^2 & 1 & 3^2 - (-3) & -3 \\

7^3 - 7^2 & 1 & 7^2 - 7 & 7 \\

5^3 - 5^2 & 1 & 5^2 - 5 & 5

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

8 - 4 & 1 & 4 - 2 & 2 \\

-27 - 9 & 1 & 9 + 3 & -3 \\

343 - 49 & 1 & 49 - 7 & 7 \\

125 - 25 & 1 & 25 - 5 & 5

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

4 & 1 & 2 & 2 \\

-36 & 1 & 12 & -3 \\

294 & 1 & 42 & 7 \\

100 & 1 & 20 & 5

\end{vmatrix}$

次に、第2列を利用して、他の行の要素を0にします。つまり、第1行を基準にして、第2行以降から第1行を引きます：

$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$

$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$

$R_4 \leftarrow R_4 - R_1$

すると、行列は次のようになります。

$\begin{vmatrix}

4 & 1 & 2 & 2 \\

-40 & 0 & 10 & -5 \\

290 & 0 & 40 & 5 \\

96 & 0 & 18 & 3

\end{vmatrix}$

この4x4行列の行列式は、第2列に関して展開することで、3x3行列の行列式に帰着されます。

$(-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix}

-40 & 10 & -5 \\

290 & 40 & 5 \\

96 & 18 & 3

\end{vmatrix} = - \begin{vmatrix}

-40 & 10 & -5 \\

290 & 40 & 5 \\

96 & 18 & 3

\end{vmatrix}$

さらに、3x3行列の計算を簡略化します。

1行目の要素を5で割ると

$-5\begin{vmatrix}

-8 & 2 & -1 \\

290 & 40 & 5 \\

96 & 18 & 3

\end{vmatrix}$

さらに2行目の要素を5で割ると

$-25\begin{vmatrix}

-8 & 2 & -1 \\

58 & 8 & 1 \\

96 & 18 & 3

\end{vmatrix}$

ここで、2行目を1行目に加える:

$-25\begin{vmatrix}

50 & 10 & 0 \\

58 & 8 & 1 \\

96 & 18 & 3

\end{vmatrix}$

3列に関して展開すると

$-25[1(50*18-96*10) - 3(50*8 - 58*10)] = -25[1(900-960) -3(400-580)] = -25[-60 -3(-180)] = -25[-60 + 540] = -25[480] = -12000$

3. 最終的な答え

-12000