$p \ge 0$ を満たす定数 $p$ に対して、関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + (9-p^2)x$ が与えられている。 (1) $p=1$ のとき、$y=f(x)$ のグラフを描け。 (2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を $p$ を用いて表せ。 (3) $x \ge 0$ において、$f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$p \ge 0$ を満たす定数 $p$ に対して、関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + (9-p^2)x$ が与えられている。

(1) $p=1$ のとき、$y=f(x)$ のグラフを描け。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を $p$ を用いて表せ。

(3) $x \ge 0$ において、$f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $p=1$ のとき、$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x$ である。

$f'(x) = x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=2, 4$

$f(2) = \frac{8}{3} - 12 + 16 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}$

$f(4) = \frac{64}{3} - 48 + 32 = \frac{64}{3} - 16 = \frac{16}{3}$

グラフは、$x=2$ で極大値 $\frac{20}{3}$ をとり、$x=4$ で極小値 $\frac{16}{3}$ をとる。

(2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + (9-p^2)x$ より、

$f'(x) = x^2 - 6x + (9-p^2)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x^2 - 6x + (9-p^2) = 0$ を解いて

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(9-p^2)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4p^2}}{2} = \frac{6 \pm 2p}{2} = 3 \pm p$

よって、$x = 3+p$ または $x = 3-p$

(3) $f'(x) = (x - (3+p))(x - (3-p))$ より、$x < 3-p$ で $f'(x) > 0$, $3-p < x < 3+p$ で $f'(x) < 0$, $x > 3+p$ で $f'(x) > 0$ である。

したがって、$f(x)$ は $x=3-p$ で極大、$x=3+p$ で極小となる。

$x \ge 0$ において $f(x)$ が最小となる $x$ の値を求める。

(i) $3-p \le 0$, つまり $p \ge 3$ のとき、$x \ge 0$ で $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は単調減少。したがって、$x=0$ で最小値をとる。

(ii) $0 < 3-p < 3+p$ のとき、つまり $0 \le p < 3$ のとき、$x=3+p$ で極小値をとる。$f(0)=0$なので、$f(0)$と$f(3+p)$の大小比較が必要。しかし、$f(0) = 0$ であり、$x \ge 0$において$x = 3+p$ で最小値をとると考えるのが自然。

$f(3+p)=\frac{1}{3}(3+p)^3-3(3+p)^2+(9-p^2)(3+p)$

$=\frac{1}{3}(3+p)^3-3(3+p)^2+(3-p)(3+p)^2$

$=(3+p)^2(\frac{1}{3}(3+p)-3+3-p)$

$=(3+p)^2(\frac{3+p-3p}{3})=\frac{1}{3}(3+p)^2(3-2p)$

ここで$0 \le p < 3$のとき、$3+p > 0$なので、$(3+p)^2 > 0$

したがって、$3-2p$の符号で$f(3+p)$の符号が決定する。

$3-2p \ge 0$, $p \le \frac{3}{2}$のとき、$f(3+p) \ge 0$, つまり$f(0) \le f(3+p)$

$3-2p < 0$, $p > \frac{3}{2}$のとき、$f(3+p) < 0$, つまり$f(0) > f(3+p)$

よって、$0 \le p \le \frac{3}{2}$のとき、$x=0$

$\frac{3}{2} < p < 3$のとき、$x=3+p$

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略

(2) $x = 3 \pm p$

(3) $p \ge 3$ または $0 \le p \le \frac{3}{2}$ のとき $x=0$

$\frac{3}{2} < p < 3$ のとき $x=3+p$