次の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 5\theta}{3\theta}$ (2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 2\theta}$ (3) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 2\theta}{\theta^2}$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 5\theta}{3\theta}$

(2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 2\theta}$

(3) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 2\theta}{\theta^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 5\theta}{3\theta}$ の場合、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ ($x \to 0$) を利用します。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 5\theta}{3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 5\theta}{5\theta} \cdot \frac{5\theta}{3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 5\theta}{5\theta} \cdot \frac{5}{3} = 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$

(2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 2\theta}$ の場合も、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ ($x \to 0$) を利用します。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 2\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{2\theta}{\sin 2\theta} \cdot \frac{\theta}{2\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\frac{\sin 2\theta}{2\theta}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(3) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 2\theta}{\theta^2}$ の場合、$1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ を利用します。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 2\theta}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{2\sin^2 \theta}{\theta^2} = 2 \lim_{\theta \to 0} \left(\frac{\sin \theta}{\theta}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{3}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $2$