質量 $m$ の質点が、長さ $L$ の軽い糸で固定された単振り子を考える。重力のみの影響を受け、空気抵抗は無視できるとする。 (a) 鉛直方向を基準にした振れ角 $\theta(t)$ に関する運動方程式を求めよ。 (b) 振れ角が十分に小さい場合の近似 $\sin \theta \approx \theta$ を用いて運動方程式を解き、その一般解を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、長さ $L$ の軽い糸で固定された単振り子を考える。重力のみの影響を受け、空気抵抗は無視できるとする。

(a) 鉛直方向を基準にした振れ角 $\theta(t)$ に関する運動方程式を求めよ。

(b) 振れ角が十分に小さい場合の近似 $\sin \theta \approx \theta$ を用いて運動方程式を解き、その一般解を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式の導出

振り子の円弧方向の運動を考える。質点に働く力は重力 $mg$ であり、円弧方向の成分は $-mg \sin \theta$ である。円弧に沿った変位を $s$ とすると、 $s = L\theta$ となる。したがって、円弧方向の運動方程式は、

$m \frac{d^2s}{dt^2} = -mg \sin \theta$

$s = L\theta$ を代入すると、

$m L \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg \sin \theta$

したがって、運動方程式は、

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L} \sin \theta$

(b) 近似と一般解

$\theta$ が十分に小さいとき、$\sin \theta \approx \theta$ と近似できる。したがって、運動方程式は、

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L} \theta$

これは単振動の微分方程式であり、一般解は、

$\theta(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$

ここで、$A$ と $B$ は初期条件によって決まる定数であり、$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ は角振動数である。

3. 最終的な答え

(a) 運動方程式:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L} \sin \theta$

(b) 一般解:

$\theta(t) = A \cos(\sqrt{\frac{g}{L}} t) + B \sin(\sqrt{\frac{g}{L}} t)$