質量 $m=1$ の質点を、バネ定数 $k=1$ のバネに鉛直につるす。 a. 以下の3つの状況における、質点の変位 $x(t)$ を求める。ただし、変位はバネの自然な長さから鉛直下向きに測るものとする。 1. つり合いの位置から $a$ だけ引っ張って、そっと手を離す。 2. つり合いの位置で初速 $v_0$ を与えて振動させる。 3. つり合いの位置で、そっと手を離す。 b. 最初に引っ張る長さを2倍にすると、周期は何倍になるかを説明する。また、初速を与えて振動させたとき、周期がどのように変化するかを説明する。

1. 問題の内容

質量 $m=1$ の質点を、バネ定数 $k=1$ のバネに鉛直につるす。

a. 以下の3つの状況における、質点の変位 $x(t)$ を求める。ただし、変位はバネの自然な長さから鉛直下向きに測るものとする。

1. つり合いの位置から $a$ だけ引っ張って、そっと手を離す。

2. つり合いの位置で初速 $v_0$ を与えて振動させる。

3. つり合いの位置で、そっと手を離す。

b. 最初に引っ張る長さを2倍にすると、周期は何倍になるかを説明する。また、初速を与えて振動させたとき、周期がどのように変化するかを説明する。

2. 解き方の手順

a. 質点の運動方程式は、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -k(x - x_0) + mg$

ここで、$x_0$ はバネの自然長、$mg$ は重力、$x$ はバネの自然長からの変位（鉛直下向きを正）を表す。

つり合いの位置を $x_{eq}$ とすると、 $-k(x_{eq} - x_0) + mg = 0$ が成り立つ。$x' = x - x_{eq}$ と変数変換すると、

$m\frac{d^2x'}{dt^2} = -kx'$

となり、これは単振動の運動方程式である。

一般解は $x'(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ と表せる。ここで、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ は角振動数であり、$m=1$, $k=1$ より $\omega = 1$ である。したがって、

$x(t) = A\cos(t) + B\sin(t) + x_{eq}$

1. つり合いの位置から $a$ だけ引っ張って、そっと手を離す場合、$x(0) = x_{eq} + a$, $\frac{dx}{dt}(0) = 0$ である。

$x(0) = A + x_{eq} = x_{eq} + a$ より $A = a$

$\frac{dx}{dt}(t) = -A\sin(t) + B\cos(t)$

$\frac{dx}{dt}(0) = B = 0$

したがって、$x(t) = a\cos(t) + x_{eq}$

2. つり合いの位置で初速 $v_0$ を与えて振動させる場合、$x(0) = x_{eq}$, $\frac{dx}{dt}(0) = v_0$ である。

$x(0) = A + x_{eq} = x_{eq}$ より $A = 0$

$\frac{dx}{dt}(0) = B = v_0$

したがって、$x(t) = v_0\sin(t) + x_{eq}$

3. つり合いの位置で、そっと手を離す場合、$x(0) = x_0$, $\frac{dx}{dt}(0) = 0$ である。

つり合いの位置$x_{eq}$は $-k(x_{eq}-x_0) + mg = 0$ を満たすので、$x_{eq} = x_0 + mg/k = x_0 + g$ となる。

$x(0) = A + x_{eq} = x_0$ より $A = x_0 - x_{eq} = -g$

$\frac{dx}{dt}(0) = B = 0$

したがって、$x(t) = -g\cos(t) + x_{eq} = -g\cos(t) + x_0 + g$

b. 単振動の周期は $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ であり、これは振幅（引っ張る長さ）や初速に依存しない。

したがって、最初に引っ張る長さを2倍にしても周期は変化しない。また、初速を与えて振動させた場合も周期は変化しない。

3. 最終的な答え

a.

1. $x(t) = a\cos(t) + x_{eq}$

2. $x(t) = v_0\sin(t) + x_{eq}$

3. $x(t) = -g\cos(t) + x_0 + g$

b. 最初に引っ張る長さを2倍にしても周期は1倍（変わらない）。また、初速を与えて振動させた場合も周期は変わらない。