定積分 $\int_{e}^{e^4} \frac{1}{x(\log x)^2} dx$ を計算し、その結果を分数で表す。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{e}^{e^4} \frac{1}{x(\log x)^2} dx$ を計算し、その結果を分数で表す。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=e$ のとき $u = \log e = 1$

$x=e^4$ のとき $u = \log e^4 = 4$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{e}^{e^4} \frac{1}{x(\log x)^2} dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{u^2} du$

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u^2} du = \int_{1}^{4} u^{-2} du$

$u^{-2}$ の不定積分は $-u^{-1}$ です。したがって、

$\int_{1}^{4} u^{-2} du = [-u^{-1}]_{1}^{4} = [-\frac{1}{u}]_{1}^{4}$

$= -\frac{1}{4} - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$