定積分 $\int_{-3}^3 x(x+\cos^3 x) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^3 x(x+\cos^3 x) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_{-3}^3 x(x+\cos^3 x) \, dx = \int_{-3}^3 (x^2 + x\cos^3 x) \, dx = \int_{-3}^3 x^2 \, dx + \int_{-3}^3 x\cos^3 x \, dx$

次に、関数 $x^2$ が偶関数であること、$x\cos^3 x$ が奇関数であることに注目します。

$f(x) = x^2$ のとき $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ より、$x^2$ は偶関数です。

$g(x) = x\cos^3 x$ のとき $g(-x) = (-x)\cos^3 (-x) = -x(\cos(-x))^3 = -x(\cos x)^3 = -x\cos^3 x = -g(x)$ より、$x\cos^3 x$ は奇関数です。

偶関数の積分は $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$

奇関数の積分は $\int_{-a}^a g(x) \, dx = 0$

を利用します。

したがって、$\int_{-3}^3 x^2 \, dx = 2 \int_0^3 x^2 \, dx$、$\int_{-3}^3 x\cos^3 x \, dx = 0$ となります。

$\int_0^3 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^3 = \frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{3}(0^3) = \frac{1}{3}(27) = 9$

よって、$\int_{-3}^3 x^2 \, dx = 2 \int_0^3 x^2 \, dx = 2(9) = 18$

したがって、$\int_{-3}^3 x(x+\cos^3 x) \, dx = \int_{-3}^3 x^2 \, dx + \int_{-3}^3 x\cos^3 x \, dx = 18 + 0 = 18$

3. 最終的な答え

18