定積分 $\int_{1}^{e} (3x^2 + 2x) \log x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} (3x^2 + 2x) \log x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

まず、$f(x) = \log x$、$g'(x) = 3x^2 + 2x$ とおくと、$f'(x) = \frac{1}{x}$、$g(x) = x^3 + x^2$ となります。

部分積分の公式 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$ より、

$\int_{1}^{e} (3x^2 + 2x) \log x \, dx = [(x^3 + x^2) \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (x^3 + x^2) \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= [(x^3 + x^2) \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (x^2 + x) \, dx$

ここで、

$[(x^3 + x^2) \log x]_{1}^{e} = (e^3 + e^2) \log e - (1^3 + 1^2) \log 1 = (e^3 + e^2) \cdot 1 - 2 \cdot 0 = e^3 + e^2$

また、

$\int_{1}^{e} (x^2 + x) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{e} = \left( \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{2}e^2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{5}{6}$

したがって、

$\int_{1}^{e} (3x^2 + 2x) \log x \, dx = e^3 + e^2 - \left( \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{2}e^2 - \frac{5}{6} \right) = e^3 + e^2 - \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{2}e^2 + \frac{5}{6} = \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{2}e^2 + \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{2}e^2 + \frac{5}{6}$