定数 $a$ が $0 < a < 1$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) 不定積分 $\int \log_a x \, dx$ を求めます。 (2) 不定積分 $\int x^2 \log_a x \, dx$ を求めます。 (3) 定積分 $\int_{1/2}^{2} |x \log_a x| a^{|\log_a x|} \, dx$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

定数 $a$ が $0 < a < 1$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) 不定積分 $\int \log_a x \, dx$ を求めます。

(2) 不定積分 $\int x^2 \log_a x \, dx$ を求めます。

(3) 定積分 $\int_{1/2}^{2} |x \log_a x| a^{|\log_a x|} \, dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int \log_a x \, dx$

部分積分を用います。

$\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ であることを利用します。

$u = \log_a x$ と $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x \log a} dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log_a x \, dx = x \log_a x - \int x \cdot \frac{1}{x \log a} \, dx = x \log_a x - \int \frac{1}{\log a} \, dx = x \log_a x - \frac{x}{\log a} + C = x \log_a x - x \log_a e + C$

ここで $C$ は積分定数です。

(2) 不定積分 $\int x^2 \log_a x \, dx$

これも部分積分を用います。

$u = \log_a x$ と $dv = x^2 \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x \log a} dx$ と $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

$\int x^2 \log_a x \, dx = \frac{x^3}{3} \log_a x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x \log a} \, dx = \frac{x^3}{3} \log_a x - \int \frac{x^2}{3 \log a} \, dx = \frac{x^3}{3} \log_a x - \frac{x^3}{9 \log a} + C = \frac{x^3}{3} \log_a x - \frac{x^3}{9} \log_a e + C$

ここで $C$ は積分定数です。

(3) 定積分 $\int_{1/2}^{2} |x \log_a x| a^{|\log_a x|} \, dx$

まず、$a^{|\log_a x|} = e^{\log (a^{|\log_a x|})} = e^{|\log_a x| \log a}$ です。

$0 < a < 1$ より $\log a < 0$ なので、$|\log_a x| \log a = - \log a |\log_a x|$ となります。

したがって、$a^{|\log_a x|} = x^{-1}$ となります。

$\int_{1/2}^2 |x \log_a x| \cdot x^{-1} \, dx = \int_{1/2}^2 |\log_a x| \, dx = \int_{1/2}^2 \left| \frac{\log x}{\log a} \right| \, dx = -\frac{1}{\log a} \int_{1/2}^2 |\log x| \, dx$

($\because \log a < 0$より、$-\frac{1}{\log a} > 0$)

$0 < x < 1$ で $\log x < 0$ であり、$x > 1$ で $\log x > 0$ です。したがって、

$-\frac{1}{\log a} \left( - \int_{1/2}^1 \log x \, dx + \int_1^2 \log x \, dx \right)$

$\int \log x \, dx = x \log x - x + C$ なので

$-\frac{1}{\log a} \left( - [x \log x - x]_{1/2}^1 + [x \log x - x]_1^2 \right)$

$= -\frac{1}{\log a} \left( - (-1 - \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (2 \log 2 - 2 - (-1) ) \right) = -\frac{1}{\log a} \left( 1 + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 \log 2 - 2 + 1 \right) = -\frac{1}{\log a} \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log 2 + 2 \log 2 \right) = - \frac{1}{\log a} \left( \frac{3}{2} \log 2 - \frac{1}{2} \right) = -\frac{3 \log 2 - 1}{2 \log a}$

3. 最終的な答え

(1) $\int \log_a x \, dx = x \log_a x - x \log_a e + C = x \log_a x - \frac{x}{\log a} + C$

(2) $\int x^2 \log_a x \, dx = \frac{x^3}{3} \log_a x - \frac{x^3}{9} \log_a e + C = \frac{x^3}{3} \log_a x - \frac{x^3}{9 \log a} + C$

(3) $\int_{1/2}^{2} |x \log_a x| a^{|\log_a x|} \, dx = - \frac{3 \log 2 - 1}{2 \log a}$