行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。ただし、$a, b, c$ は正の整数とする。 (1) $A^2 = 3A$ が成り立つように、$a, b, c$ の値を定める。 (2) (1) のとき、$A^n$ を $n$ および $A$ で表す (ただし、$n$ は正の整数)。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。ただし、$a, b, c$ は正の整数とする。

(1) $A^2 = 3A$ が成り立つように、$a, b, c$ の値を定める。

(2) (1) のとき、$A^n$ を $n$ および $A$ で表す (ただし、$n$ は正の整数)。

2. 解き方の手順

(1) $A^2 = 3A$ を満たす $a, b, c$ の値を求める。まず、$A^2$ を計算する。

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+ab & a+ac \\ b+bc & ab+c^2 \end{pmatrix}$

これが $3A$ に等しいので、

$\begin{pmatrix} 1+ab & a+ac \\ b+bc & ab+c^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3a \\ 3b & 3c \end{pmatrix}$

各成分を比較すると、以下の連立方程式が得られる。

$1+ab = 3$

$a+ac = 3a$

$b+bc = 3b$

$ab+c^2 = 3c$

これらの式から、$ab = 2$, $1+c = 3$, $1+c = 3$, $ab+c^2=3c$ が得られる。

$c = 2$ であり、$ab = 2$ である。$a, b$ は正の整数なので、$a=1, b=2$ または $a=2, b=1$ である。

したがって、$a=1, b=2, c=2$ または $a=2, b=1, c=2$ である。

(2) $A^2 = 3A$ より、$A^n = 3A^{n-1}$ が成り立つ。したがって、$A^n = 3^{n-1}A$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

$a=1, b=2, c=2$ または $a=2, b=1, c=2$

(2)

$A^n = 3^{n-1}A$