曲線 $(x-y)^2 = 2x$ の概形を描き、この曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $(x-y)^2 = 2x$ の概形を描き、この曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形する。

$(x-y)^2 = 2x$ より、

$x-y = \pm \sqrt{2x}$.

したがって、

$y = x \pm \sqrt{2x}$.

つまり、

$y_1 = x + \sqrt{2x}$

$y_2 = x - \sqrt{2x}$

の二つの曲線を表す。

次に、 $x$ 軸との交点を求める。

$y=0$ とすると、

$x \pm \sqrt{2x} = 0$

$\sqrt{x} (\sqrt{x} \pm \sqrt{2}) = 0$

$x = 0$ または $x = 2$

曲線と $x$ 軸で囲まれる面積は、積分を用いて計算できる。

面積 $S$ は

$S = \int_0^2 |y_1 - y_2| dx = \int_0^2 |(x+\sqrt{2x}) - (x-\sqrt{2x})| dx$

$S = \int_0^2 |2\sqrt{2x}| dx = 2\sqrt{2} \int_0^2 \sqrt{x} dx$

$S = 2\sqrt{2} \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^2 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} (2^{3/2} - 0^{3/2})$

$S = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$