以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$ (2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}$ (3) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$

(2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}$

(3) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$

$\theta \to 0$ のとき $\frac{\sin \theta}{\theta} \to 1$ を利用します。

$\frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3\theta}{2\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2}$

よって、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

(2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}$

$\theta \to 0$ のとき $\frac{\sin \theta}{\theta} \to 1$ を利用します。

$\frac{\theta}{\sin 3\theta} = \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{\theta}} = \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot 3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{3\theta}}$

よって、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{3\theta}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{3}$

(3) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2}$

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ より、$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ です。

したがって、$1 - \cos 3\theta = 2 \sin^2 \frac{3\theta}{2}$ となります。

よって、

$\frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2} = \frac{2 \sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2} = 2 \cdot \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\theta} \cdot \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\theta} = 2 \cdot \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \left( \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \right)^2 = \frac{9}{2} \left( \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \right)^2$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{9}{2} \left( \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \right)^2 = \frac{9}{2} \cdot 1^2 = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) $\frac{9}{2}$