(1) $x^4 - 6x^2 + 25$ を因数分解する。 (2) 方程式 $x^4 - 6x^2 + 25 = 0$ の4つの解を $p, q, r, s$ とするとき、$p^3 + q^3 + r^3 + s^3$ の値を求める。 (3) (2) で定めた $p, q, r, s$ に対して、$p^3q^3 + p^3r^3 + p^3s^3 + q^3r^3 + q^3s^3 + r^3s^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x^4 - 6x^2 + 25$ を因数分解する。

(2) 方程式 $x^4 - 6x^2 + 25 = 0$ の4つの解を $p, q, r, s$ とするとき、$p^3 + q^3 + r^3 + s^3$ の値を求める。

(3) (2) で定めた $p, q, r, s$ に対して、$p^3q^3 + p^3r^3 + p^3s^3 + q^3r^3 + q^3s^3 + r^3s^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 6x^2 + 25$

$= x^4 + 10x^2 + 25 - 16x^2$

$= (x^2 + 5)^2 - (4x)^2$

$= (x^2 + 5 + 4x)(x^2 + 5 - 4x)$

$= (x^2 + 4x + 5)(x^2 - 4x + 5)$

(2) 解と係数の関係を利用する。

$x^4 - 6x^2 + 25 = 0$ の解を $p, q, r, s$ とする。

$x^4 - 6x^2 + 25 = (x^2 + 4x + 5)(x^2 - 4x + 5)$ より、$p, q$ は $x^2 + 4x + 5 = 0$ の解、$r, s$ は $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解とする。

$p+q = -4$, $pq = 5$

$r+s = 4$, $rs = 5$

$p^3 + q^3 = (p+q)^3 - 3pq(p+q) = (-4)^3 - 3(5)(-4) = -64 + 60 = -4$

$r^3 + s^3 = (r+s)^3 - 3rs(r+s) = (4)^3 - 3(5)(4) = 64 - 60 = 4$

よって、

$p^3 + q^3 + r^3 + s^3 = -4 + 4 = 0$

(3)

$p^3q^3 + p^3r^3 + p^3s^3 + q^3r^3 + q^3s^3 + r^3s^3$

$= (pq)^3 + (rs)^3 + (p^3 + q^3)(r^3 + s^3)$

$= 5^3 + 5^3 + (-4)(4) = 125 + 125 - 16 = 250 - 16 = 234$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + 4x + 5)(x^2 - 4x + 5)$

(2) 0

(3) 234