以下の連立一次方程式について、(1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求め、(2) 連立一次方程式の解を求める。 $x - y + 4z + 2w = 2$ $x + z + 2w = 4$ $2x - y + 5z + 4w = 6$ $x + y - 2z + 2w = 6$

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式について、(1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求め、(2) 連立一次方程式の解を求める。

$x - y + 4z + 2w = 2$

$x + z + 2w = 4$

$2x - y + 5z + 4w = 6$

$x + y - 2z + 2w = 6$

2. 解き方の手順

(1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求める。

まず、与えられた連立一次方程式の係数行列 $A$ と拡大係数行列 $A'$ を書き出す。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 5 & 4 \\ 1 & 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

$A' = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & 5 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & -2 & 2 & 6 \end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列 $A'$ を行基本変形によって簡約化する。

1行目を基準に、2行目以降を掃き出す。

2行目: $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$

3行目: $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$

4行目: $R_4 \rightarrow R_4 - R_1$

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -6 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

2行目を基準に、3, 4行目を掃き出す。

3行目: $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$

4行目: $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_2$

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目を基準に、2行目を掃き出す。

1行目: $R_1 \rightarrow R_1 + R_2$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された拡大係数行列から、rank $A$ と rank $A'$ はどちらも2であることがわかる。

(2) 連立方程式の解を求める。

簡約化された拡大係数行列から、次の方程式が得られる。

$x + z + 2w = 4$

$y - 3z = 2$

$z = s$, $w = t$ とおくと、

$x = 4 - s - 2t$

$y = 2 + 3s$

したがって、解は以下のようになる。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 係数行列の階数: 2、拡大係数行列の階数: 2

(2) 解:

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （$s$, $t$は任意の実数）