密度が均一で、質量 $M$、半径 $R$ の回転体Aが、傾斜角 $\alpha$ の粗い斜面上を滑らずに転がる。 (1) Aの重心の落下速度を $v$、Aと斜面間の摩擦力を $f$ とするとき、Aの重心の並進運動方程式と、重心周りの回転の運動方程式を立てよ。ただし、Aの回転軸周りの慣性モーメントを $I$ で表す。 (2) 回転体が球体であるとき、重心の加速度 $\dot{v}$ と摩擦力 $f$ を $M$, $g$, $\alpha$ を用いて表せ。 (3) 回転体が円柱であるとき、斜面の高さ $h$ の位置から静かに転がしたとき、斜面の下端における速度 $v_1$ を求めよ。

1. 問題の内容

密度が均一で、質量 $M$、半径 $R$ の回転体Aが、傾斜角 $\alpha$ の粗い斜面上を滑らずに転がる。

(1) Aの重心の落下速度を $v$、Aと斜面間の摩擦力を $f$ とするとき、Aの重心の並進運動方程式と、重心周りの回転の運動方程式を立てよ。ただし、Aの回転軸周りの慣性モーメントを $I$ で表す。

(2) 回転体が球体であるとき、重心の加速度 $\dot{v}$ と摩擦力 $f$ を $M$, $g$, $\alpha$ を用いて表せ。

(3) 回転体が円柱であるとき、斜面の高さ $h$ の位置から静かに転がしたとき、斜面の下端における速度 $v_1$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

並進運動方程式:

$M\dot{v} = Mg\sin{\alpha} - f$

回転運動方程式:

$I\dot{\omega} = Rf$

ここで、$\omega$は角速度であり、滑らずに転がる条件から、$v = R\omega$、よって、$\dot{v} = R\dot{\omega}$

(2)

球の場合、$I = \frac{2}{5}MR^2$。回転運動方程式に代入すると、

$\frac{2}{5}MR^2 \dot{\omega} = Rf$

$\frac{2}{5}MR^2 \frac{\dot{v}}{R} = Rf$

$f = \frac{2}{5}M\dot{v}$

これを並進運動方程式に代入すると、

$M\dot{v} = Mg\sin{\alpha} - \frac{2}{5}M\dot{v}$

$\frac{7}{5}M\dot{v} = Mg\sin{\alpha}$

$\dot{v} = \frac{5}{7}g\sin{\alpha}$

摩擦力は、

$f = \frac{2}{5}M\dot{v} = \frac{2}{5}M \frac{5}{7}g\sin{\alpha} = \frac{2}{7}Mg\sin{\alpha}$

(3)

円柱の場合、$I = \frac{1}{2}MR^2$。エネルギー保存則を用いる。

初期状態では、位置エネルギー $Mgh$ を持つ。

最終状態では、並進運動エネルギー $\frac{1}{2}Mv_1^2$ と回転運動エネルギー $\frac{1}{2}I\omega_1^2$ を持つ。

ここで、$\omega_1 = \frac{v_1}{R}$。

エネルギー保存則より、

$Mgh = \frac{1}{2}Mv_1^2 + \frac{1}{2}I\omega_1^2$

$Mgh = \frac{1}{2}Mv_1^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v_1}{R})^2$

$Mgh = \frac{1}{2}Mv_1^2 + \frac{1}{4}Mv_1^2$

$Mgh = \frac{3}{4}Mv_1^2$

$v_1^2 = \frac{4}{3}gh$

$v_1 = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$

3. 最終的な答え

(1) 並進運動方程式: $M\dot{v} = Mg\sin{\alpha} - f$

回転運動方程式: $I\dot{\omega} = Rf$

(2) 重心の加速度: $\dot{v} = \frac{5}{7}g\sin{\alpha}$

摩擦力: $f = \frac{2}{7}Mg\sin{\alpha}$

(3) 斜面の下端における速度: $v_1 = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$